Biến đổi affine là gì?

Định dạng affine là gì? Họ có chỉ áp dụng cho các điểm hoặc cho các hình dạng khác không? Điều đó có nghĩa là chúng có thể được "sáng tác"?

transformations affine-transformations

— kẻ lừa đảo
nguồn

Một phép biến đổi affine là một phép biến đổi tuyến tính + một vectơ dịch.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

Nó có thể được áp dụng cho các điểm riêng lẻ hoặc cho các đường hoặc thậm chí các đường cong Bezier. Đối với các dòng, nó bảo toàn thuộc tính mà các đường song song vẫn song song. Đối với các đường cong Bezier, nó bảo toàn thuộc tính lồi của các điểm kiểm soát.

Nhân ra, nó tạo ra 2 phương trình để thu được cặp tọa độ "biến đổi" từ cặp ban đầu và danh sách các hằng số . $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

Thuận tiện, biến đổi tuyến tính và vectơ dịch có thể được đặt cùng nhau thành một ma trận 3D có thể hoạt động trên các tọa độ đồng nhất 2D.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

Mà mang lại 2 phương trình giống nhau ở trên.

Rất thuận tiện , các ma trận có thể được nhân với nhau để tạo ra ma trận thứ ba (của các hằng số) thực hiện phép biến đổi giống như 2 bản gốc sẽ thực hiện theo trình tự. Nói một cách đơn giản, phép nhân ma trận là kết hợp.

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

Ngoài ra, bạn có thể xem xét một vài loại biến đổi cơ bản và soạn thảo bất kỳ biến đổi phức tạp nào hơn bằng cách kết hợp các loại biến đổi này (nhân chúng với nhau).

Biến đổi danh tính

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Thu nhỏ

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

* Lưu ý: một phản xạ có thể được thực hiện với các tham số tỷ lệ hoặc . $(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

Dịch

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

Xke x bởi y

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Xiên y bởi x

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Vòng xoay

[\begin{matrix} \cos θ & - s i n θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[Lưu ý tôi đã hiển thị dạng Ma trận ở đây chấp nhận một vectơ hàng bên trái . Chuyển vị của các ma trận này sẽ hoạt động với một vectơ cột bên phải.]

Một ma trận bao gồm hoàn toàn từ tỷ lệ, xoay và dịch có thể được phân tách trở lại thành ba thành phần này .

— kẻ lừa đảo
nguồn

Câu trả lời chính xác. Bạn có thể muốn thêm một cách để suy nghĩ về các phép biến đổi affine là chúng giữ các đường thẳng song song. Do đó, chia tỷ lệ, xoay, dịch, cắt và kết hợp, được tính là affine. Phối cảnh chiếu là một ví dụ về phép biến đổi không affine.

— ap_

Bạn có thể thêm một số hình ảnh. Nếu bạn không muốn: P Cũng có thể tốt khi đề cập đến thứ tự trong ma trận và hướng hàng / cột là tùy ý. Và các phép quay trong 3d không phải là tính toán.

— joojaa

@joojaa Mình làm ảnh! nguồn tin đăng tải

— luser droog

Cũng có thể đáng nói đến việc biến đổi cơ thể cứng nhắc là một tập hợp con của biến đổi affine và biến đổi affine là một tập hợp con của biến đổi phối cảnh.

— dùng1118321

Tôi cứ đọc lại điều này mỗi lần một lần và tôi không thể nói được, nhưng tôi có thể có các biến đổi lệch được mô tả sai. Skews là khó hiểu. Nếu bất cứ ai nhìn thấy điều này và muốn đi chỉnh sửa, xin vui lòng giúp làm rõ phần đó!

— luser droog