Có thể biến ma trận xoay 3d (4 x 4) thành các bộ phận cấu thành của nó (xoay, tỷ lệ, v.v.) không?

Để cụ thể hơn, tôi đang làm việc trên một ứng dụng iOS và có CATransform3Dcấu trúc (về cơ bản là một mảng biến đổi 4 x 4).

Có thể suy ra tất cả các "hoạt động" khác nhau mà ma trận này ngụ ý? Những thứ như bao nhiêu vòng quay, quy mô, vv nó ngụ ý?

Bạn có thể phân tách ma trận thành các phép biến đổi cơ bản: dịch, chia tỷ lệ và xoay. Cho ma trận này:$\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Bạn có thể phân hủy bản dịch qua sự kiểm tra bằng cách sử dụng cột cuối cùng .$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

Để nhân rộng, chúng ta biết rằng ba cột đầu tiên của ma trận tương ứng với các cơ sở (trục). Chúng ta có thể lấy tỷ lệ theo chiều dài / chỉ tiêu của các vectơ này, tức là bao nhiêu căn cứ được chia tỷ lệ. Vậy tỷ lệ là trong đó:$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

$$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$$

Bây giờ bạn đã quy mô, bạn có thể thoát khỏi nó bằng cách sử dụng sub-ma trận tương ứng với R S bằng cách nhân ma trận với nghịch đảo của tỷ lệ S - 1 để có được $3\times 3$$\mathbf{RS}$$\mathbf{S}^{-1}$$\mathbf{R}$

$$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$$

$\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$$

This is the final rotation matrix. You can further decompose it using many ways. It is quit lengthy but you can search for decomposing a rotation matrix.

---

This method only gives an equivalent values in the form of translation, scaling and rotation (the original matrix maybe the result of other types of transformations). It may has problems with floating point precision with the rotation angles if you further used the decomposed angles, rounding errors may accumulate in the computations. You should not use it unless you did not construct the matrix yourself.

If you are the one who constructed the matrix and wanted the decomposition in order to be able to edit and display the translation, scale and rotation individually and independently, probabbly the cleanest why is to store the components of $\mathbf{t}$, $\mathbf{s}$ and $\mathbf{r}$ in a transform class individually as vectors (maybe quaternion for the rotation). Only when you need the transform matrix, construct a $\mathbf{TRS}$ matrix from these components (You can cache the matrix until some component is changed).