Làm thế nào để xử lý một phương trình tham số trong raytracing?

Sau khi xem qua dải Mobius , tôi nhận thấy phương trình của nó thực sự đơn giản và đã cố gắng thêm nó vào Raytracer của tôi.

Tôi đã thử một cách "ngây thơ" bằng cách đơn giản tạo ra các Nhình tam giác gắn liền với nhau để có được hình dạng mong muốn. Trong khi phương pháp này hoạt động, kết quả nó không thực sự đẹp:

(Nhân tiện, tôi có thể có một vấn đề với quy tắc của mình nhưng tôi không biết nó đến từ đâu.)

Tôi đã thử nó với PovRay và kết quả thật đáng kinh ngạc. Dải hoàn hảo mịn được thực hiện trong một thời gian nhỏ FAR xa hơn so với của tôi. Tôi khá chắc chắn Povray được tối ưu hóa tốt nhưng tôi cũng nghĩ nó sẽ không tạo ra các hình tam giác như tôi đã làm.

Trong trường hợp có thể giúp ích, đây là mã thực tế được sử dụng (C ++):

float step = .1f;
float halW = 0.5f;

_facets.clear();

auto lambda = [this] (float v, float t) {
  Vec_t p;

  float cdv = Tools::Cos(2 * v);
  float sdv = Tools::Sin(2 * v);
  float ctv = Tools::Cos(v);
  float stv = Tools::Sin(v);

  float c = 2 + t * ctv;

  p.x = c * cdv;
  p.z = c * sdv;
  p.y = t * stv;

  return p;
};

for (float v = 0.f; v < Globals::PI; v += step)
{
  if (v > Globals::PI)
    v = Globals::PI;

  for (float t = -halW; t < halW; t += step)
  {
    if (t > halW)
      t = halW;

    Vec3 p1 = lambda(v, t);
    Vec3 p2 = lambda(v + step, t);
    Vec3 p3 = lambda(v, t + step);
    Vec3 p4 = lambda(v + step, t + step);
    _facets.emplace_back(p1, p2, p3);
    _facets.emplace_back(p3, p2, p4);
  }
}

TL; DR

Làm thế nào tôi có thể xử lý các bề mặt tham số như thế này trong raytracing?

Chỉnh sửa Sau khi để thuật toán trên chạy trong khoảng 20 giờ, tôi đã nhận được kết quả đẹp hơn (với 3 lần thay vì 1)

Cách đây nhiều năm, tôi đã làm việc trên một máy dò tia xử lý các bề mặt tham số, vì vậy đây không chắc là trạng thái của nghệ thuật, nhưng, IIRC, tôi đã sử dụng kết hợp số học khoảng với phân chia (nhị phân?) Và Newton-Rhapson.

Các ô giới hạn số học + phân chia được xây dựng (bảo thủ) có thể được sử dụng để loại bỏ giao lộ. Tôi nghĩ rằng tôi cũng có thể đã sử dụng số học khoảng trên đạo hàm 1 để giúp xác định khi nào an toàn để khởi chạy vào Newton-Rhapson. Điển hình là các bước Newton hội tụ rất nhanh.

Bạn cũng có thể xúc xắc các bề mặt tham số của mình và đặt chúng vào cấu trúc gia tốc (lưới Voxel / BVH) để tăng tốc quá trình.

Tác phẩm này được dựa trên / lấy cảm hứng từ bài báo "On Ray Trace Parametric Surfaces" năm 1985 của Daniel Toth

Nói chung khi thực hiện tham số trong bộ dò tia, bạn cần một giải pháp cho

$\begin{cases} P = v * t + C \\ P = f(u,v) \end{cases}$

với thấp nhất trong đó là hàm tham số của bạn là vị trí camera và là hướng tia.$t$$f(u,v)$$C$$v$

Có một vài cách chung, ví dụ nếu bạn có thể biết liệu 2 điểm có cùng phía hay không, bạn có thể lấy 2 điểm trên tia ở hai phía đối diện và tìm kiếm nhị phân cho đến khi bạn có độ sâu. Bạn có thể tìm thấy cặp đầu tiên bằng cách diễu hành dọc theo tia.