Lấy mẫu 2D với các phép biến đổi đa chiều

Tôi hiện đang học các khái niệm toán học về phân phối và cách sử dụng chúng trong một máy dò tia với cuốn sách "Kết xuất dựa trên vật lý".

Hãy bắt đầu bằng cách lấy mẫu một bán cầu thống nhất:

Như bạn có thể biết, một cách để tạo ra hướng phân phối đồng đều là sử dụng phương pháp đảo ngược.

Hãy để chúng tôi biểu thị bằng hàm mật độ xác suất thống nhất của chúng tôi: $p$

$p(\omega) = \cfrac{1}{2\pi}$ và vì vậy . $p(\theta, \phi) = \sin(\theta)p(\omega)$

Sau đó, bạn tính , , bạn tích hợp hàm phân phối tích lũy của mình và bạn đảo ngược hàm. $p(\theta)$ $p(\phi | \theta)$

Câu hỏi của tôi là:

Những gì hiện thực sự có ý nghĩa? $p(\theta, \phi)$
Sự biến đổi giữa và gì? $p(\omega)$ $p(\theta, \phi)$
Trong cuốn sách, để tìm họ nói rằng , nhưng tại sao? $p(\theta,\phi)$ $p(\theta, \phi) d\theta d\phi = p(\omega)d\omega$

Tôi biết rằng với , biến ngẫu nhiên của chúng tôi là một (một hướng) nhất định, do đó, hàm đại diện cho xác suất tương đối cho hướng này (vì vậy là một góc vững chắc, vì thuật ngữ tương đối ngụ ý một hướng và một vùng delta xung quanh hướng này). $p(\omega)$ $\omega$

Nhưng đối với , biến ngẫu nhiên của chúng ta bây giờ là cặp đôi . Đến mức độ nào thì nó khác với một hướng? $p(\theta,\phi)$ $(\theta,\phi)$

— Qzaac
nguồn

@DanHulme Bạn có câu trả lời nào cho bài này không?

— Qzaac

Lưu ý rằng thông báo @username chỉ hoạt động đối với người dùng đã nhận xét về bài đăng cụ thể này. Chỉ là trùng hợp ngẫu nhiên mà người được đề cập tình cờ đã đăng một câu trả lời ...

— trichoplax

@trichoplax Đó không phải là sự trùng hợp hoàn toàn. Tôi nghĩ rằng tôi đã nhận được thông báo, bởi vì trước đây tôi đã chỉnh sửa câu hỏi và nhận xét nhắc nhở tôi rằng tôi đang có ý định quay lại và đăng câu trả lời khi tôi có thêm thời gian.

— Dan Hulme

Hấp dẫn. Tôi đã không nhận ra rằng các chỉnh sửa đã làm điều đó. Nó có ý nghĩa mặc dù ... Cảm ơn đã cho tôi biết.

— trichoplax

@trichoplax Tôi vừa thử vận may

— Qzaac

Tôi không chắc là tôi đã hiểu chính xác câu hỏi, nhưng rồi đây.

Bạn đang cố gắng lấy mẫu các hướng thống nhất, vì vậy bạn đã có , đó là xác suất để có được một hướng cụ thể. Nhưng một hướng là gì? Bạn thực sự cần phân phối xác suất của mình để tạo ra các số trong một số biểu diễn và cách biểu diễn dễ nhất để xử lý là độ trễ dài (tức là hai góc). Vì vậy, điều bạn thực sự cần lấy mẫu là phân phối xác suất của các cặp góc. Đây là những gì là: xác suất chung của hai biến. $p(\omega)$ $p(\theta, \phi)$

$p(\omega)$ và có nghĩa giống nhau về mặt hình học, nhưng cái trước cho bạn một hướng trừu tượng mà bạn không thể lấy mẫu trực tiếp, trong khi cái sau hữu ích hơn cho bạn hai số đại diện cho một hướng. $p(\theta, \phi)$

Lý do cho điểm đạn thứ ba của bạn là để làm với điểm bạn đã thực hiện về cách nó không chỉ là một hướng duy nhất. Đây không phải là chức năng thực sự: chúng là phân phối . Một hướng là vô hạn, vì vậy bạn không thể có xác suất chỉ một hướng. Những gì bạn thực sự cần làm là tích hợp nó theo các hướng bạn quan tâm.

\int p (ω) d ω = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} p (θ, ϕ) d θ d ϕ = 1

$\int p(\omega)d\omega = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi p(\theta, \phi)d\theta d\phi = 1$

Cho dù bạn sử dụng đại diện nào, tích phân trên bán cầu phải là 1, vì đó là phân phối xác suất.

Tôi không chắc mình cần phải giải thích điều này hay nếu bạn đã hiểu, nhưng đây là nguồn gốc của . Khi bạn thực hiện tích phân kép ở bên phải, bạn sẽ chia vấn đề thành một loạt các vòng hoặc các lát của hình cầu đơn vị. Mỗi vòng có hằng số trong khi đi từ đến . Ngoài ra, diện tích của mỗi vòng riêng lẻ giảm khi tăng: vòng ở xích đạo là rất lớn, trong khi "vòng" cuối cùng ở cực thì nhỏ. Diện tích giảm khi . Bởi vì chúng tôi muốn mỗi đơn vị diện tích của hình cầu có cùng xác suất, chúng tôi cần các vòng nhỏ hơn để có tỷ lệ xác suất nhỏ hơn. $sin(\theta)$ $\theta$ $\phi$ $0$ $2\pi$ $\theta$ $sin(\theta)$

Như Florian R. giải thích, bạn có thể làm điều đó bằng cách đưa yếu tố vào tích phân hoặc bạn có thể đặt nó trong định nghĩa của giống như cuốn sách. $sin(\theta)$ $p(\theta, \phi)$

— Dan Hulme
nguồn

Trong phương trình của bạn, bạn chuyển đổi từ tích hợp trong tọa độ cartesian sang tích hợp trong tọa độ hình cầu. Bạn không nên thêm sin (ϕ) vào tài khoản để chuyển đổi tọa độ này? Ngoài ra, bạn có thể định nghĩa p (, ϕ) = sin (ϕ) p (sin (ϕ) cos (θ), sin (ϕ) sin (), cos (ϕ)) , nhưng tôi nghĩ nó sẽ rõ ràng hơn nếu yếu tố sin (ϕ) khác với p (θ, ϕ) .

— Florian R.

@FlorianR. Câu hỏi đã mô tả rằng sin (θ) nằm trong p (θ, ϕ) . Người hỏi dường như không gặp rắc rối với nó và đó là một vấn đề phụ, vì vậy tôi không thực sự chú ý đến nó.

— Dan Hulme

@Yoo Thay việc chuyển đổi từ tích hợp trên ω để tích hợp trên θ và φ là sự chuyển đổi từ tích hợp trong Descartes để tích hợp trong tọa độ cầu. Trong khi bạn đã xác định p (ω) = sin () p (θ, ϕ) , tôi hoàn toàn không thay đổi p , sử dụng ω = (sin (ϕ) cos (θ), sin (ϕ) sin () ), cos (ϕ)) và sử dụng dω = sin (θ) dθdϕ . Tôi nghĩ rằng nên làm rõ rằng p vẫn giữ nguyên, chúng ta chỉ đang chuyển đổi hệ tọa độ của tích hợp. Tuy nhiên, điều này là chủ quan và nếu bạn xác định lại p để bao gồm sin (θ) như bạn đã làm, phương trình kết quả sẽ giống hệt nhau.

— Florian R.

@Yoo Ah, tôi xin lỗi. Dan chỉ cần thêm một lời giải thích và có thể để giúp bạn hình dung nó, hãy nghĩ về một bản đồ sử dụng vĩ độ / kinh độ . Cực nam xuất hiện rất lớn, và nếu bạn muốn tích hợp một cái gì đó dọc theo vĩ độ và kinh độ, các cực sẽ được thể hiện quá mức. Yếu tố tội lỗi (θ) loại bỏ sự thiên vị này đối với các cực. Ngoài ra, bạn có thể muốn đọc lên sự tích hợp bằng cách thay thế cho trường hợp chung.

— Florian R.

Điều đó thường không đúng, nhưng nó đúng ở đây vì hạn chế thêm rằng phân phối là thống nhất. Bất kỳ phân phối xác suất nào cũng phải tích hợp thành 1, nhưng cái này cũng có cùng giá trị ở mọi nơi. (Hoặc nói cách khác, hai tích phân phải bằng nhau cho mọi khu vực bạn tích hợp.)

— Dan Hulme