Trực quan hóa thuật toán Lane-Riesenfeld

Ok, tôi tiếp tục đọc các bài báo về điều này và không ai trong số họ có hình ảnh. Thuật toán lane Riesenfeld cung cấp một cách để chia nhỏ tập hợp các điểm với chuyển đổi B-spline.

Các quesiton là đơn giản như thế nào? Nếu bạn có thể đưa cho tôi một bộ ảnh với lời giải thích thì đó là lời giải thích tốt nhất, hơn cả toán học.

Bước đầu tiên (nghĩa là sao chép các đỉnh ban đầu) có vẻ đủ rõ ràng, nhưng tôi không hiểu đầy đủ về cách tính trung bình của điểm giữa.

Hiện tại sự hiểu biết rất, rất kém của tôi đang tạo ra điều này:

Bắt đầu với 4 điểm sau

Chúng tôi nhân đôi từng điểm (biểu thị bằng vùng màu xám)

Chúng tôi lấy tất cả các điểm lẻ trong bộ mới của mình và di chuyển chúng đến giữa dòng nối 2 điểm liên tiếp:

Tôi làm gì bây giờ? Từ đây trở đi tôi hoàn toàn lạc lối

Thuật toán Lane-Riesenfeld phân chia đa giác điều khiển của B-spline để tạo ra một đa giác điều khiển mới có cùng giới hạn spline. Nó được tạo thành từ hai bước: đầu tiên, sao chép tất cả các điểm kiểm soát$P_i$ vào $P^\prime_{2i}$ và $P^\prime_{2i+1}$; sau đó, di chuyển từng điểm đến điểm giữa giữa nó và điểm tiếp theo, vì vậy$P^\prime_i \rightarrow \frac{1}{2} P^\prime_i + \frac{1}{2}P^\prime_{i+1}$. Các bước này được minh họa trong hình:

Bên trái là một đa giác điều khiển ban đầu. Ở giữa, tôi đã nhân đôi các đỉnh. Ở bên phải, các đỉnh đã di chuyển được một nửa đến đỉnh tiếp theo. Lưu ý rằng chỉ một nửa số đỉnh di chuyển trong bước di chuyển đầu tiên: điều này là do$P^\prime_{2i} = P^\prime_{2i+1},$ nhưng $P^\prime_{2i+1} \neq P^\prime_{2i+2}.$ Tám đỉnh này là một đa giác điều khiển tinh chỉnh cho B-spline tuyến tính được xác định bởi bốn đỉnh ban đầu.

Bây giờ, chúng ta có thể thực hiện bước chuyển động thứ hai (không có sự trùng lặp khác):

Ở bên trái, chúng tôi đã di chuyển từng đỉnh đến điểm giữa giữa nó và hàng xóm của nó; lưu ý rằng tất cả các đỉnh di chuyển lần này (vì không có đỉnh nào ở cùng một vị trí). Ở bên phải, chúng tôi đã vẽ đa giác với tám đỉnh này. Đây là một đa giác điều khiển tinh chỉnh cho B-spline bậc hai được xác định bởi bốn đỉnh ban đầu. Bạn cũng có thể nhận ra đây là cùng một đa giác mà bạn có được bằng cách cắt góc Chaikin, điều này cũng giúp bạn có được B-spline bậc hai.

Bây giờ chúng ta có thể thực hiện các bước di chuyển trùng lặp nhiều hơn để tinh chỉnh thêm đa giác, và do đó gần đúng hơn với đường cong B-spline bậc hai:

Đây là một hình ảnh động của quá trình này:

Thay vào đó, nếu thay vào đó, chúng ta thực hiện bước chuyển động thứ ba mà không có bước trùng lặp (nghĩa là một lần nhân đôi theo sau ba chuyển động liên tiếp), chúng ta sẽ có một đa giác điều khiển tinh chỉnh cho khối B-spline được xác định bởi bốn đỉnh ban đầu:

Một hình ảnh động của quá trình này:

Nói chung, làm $k$ các bước di chuyển sau mỗi lần lặp lại cho chúng ta đa giác tinh chỉnh cho $C^k$ B-spline.

EDIT : Thêm hình ảnh động.