Đệ quy

7

Tôi đang xem xét mức tái phát mô tả thời gian chạy của một số thuật toán không xác định (trường hợp cơ sở không được cung cấp).

T (n) = T (n / 2) + T (n / 3) + n,

$T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n,$

Sử dụng cảm ứng, tôi thấy rằng , nhưng đã được thông báo rằng điều này không chặt chẽ. Thật vậy, giả sử rằng cho tất cả (và các giá trị đủ lớn của ), sau đó $T(n) = O(n\log n)$ $T(k) \leq Ck\log k$ $k<n$ $k$

\begin{aligned} T (n) & \leq C \frac{n}{2} \log \frac{n}{2} + C \frac{n}{3} \log \frac{n}{3} + n \\ = C \frac{5}{6} n \log n - n (C / 2 + C \log 3 / 3 - 1) . \end{aligned}

$\begin{align*} T(n)&\leq C\frac{n}{2}\log\frac{n}{2} + C\frac{n}{3}\log \frac{n}{3} + n\\ &= C\frac{5}{6}n\log n - n(C/2+C\log3/3 - 1). \end{align*}$

Bây giờ tôi chọn đủ lớn cho , và vì vậy biểu thức cuối cùng bị chi phối bởi . $C$ $(C/2+C\log3/3 - 1) > 0$ $C\frac{5}{6}n\log n\leq Cn\log n$

Câu hỏi đầu tiên của tôi là, cái gì chặt chẽ hơn thế này?

Thứ hai, tôi đã thử sử dụng phương pháp Akra-Bazzi để giải quyết vấn đề này, vì vậy hãy để giải quyết Sau đó, khoảng và (với ) tôi nhận được và như vậy $p$

{(\frac{1}{2})}^{p} + {(\frac{1}{3})}^{p} = 1.

$\left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1}{3}\right)^p = 1.$

p = 0.79

$p=0.79$

g (n) = n

$g(n) = n$

\int_{1}^{n} \frac{g (u)}{u^{p + 1}} d u = \int_{1}^{n} \frac{1}{u^{p}} d u = \frac{1}{1 - p} (n^{1 - p} - 1),

$\int_1^n \frac{g(u)}{u^{p+1}} du = \int_1^n \frac{1}{u^{p}} du = \frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1),$

T (n) = Θ (n^{p} (1 + \frac{1}{1 - p} (n^{1 - p} - 1))) .

$T(n) = \Theta\left(n^p\left(1+\frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1)\right)\right).$

Điều này bằng , vì vậy, tổng thể , vì . Câu hỏi thứ hai của tôi là tôi không thực sự tin rằng là tuyến tính, vậy điều gì đã xảy ra trong ứng dụng Akra-Bazzi của tôi? $\Theta(n^p + \frac{1}{1-p}n-\frac{1}{1-p}n^p)$ $\Theta(n)$ $p<1$ $T$

Trân trọng.

asymptotics recurrence-relation

— HowDoICSharply
nguồn

5

Nếu và , chúng ta có thể chỉ ra rằng bằng cảm ứng. $T(1)\le 6$ $T(2)\le 12$ $T(n)\le 6n$

T (n) = T (n / 2) + T (n / 3) + n \leq 6 (n / 2) + 6 (n / 3) + n = 6 n .

$T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n \le 6(n/2)+ 6(n/3)+n= 6n.$

Tổng quát hơn, đặt là hằng số sao cho và , sau đó chúng ta có thể chứng minh thường xuyên rằng . Mặc dù có vẻ khó tin với bạn, nhưng sự thật là $c\gt6$ $T(1)\le c$ $T(2)\le 2c$ $T(n)\le cn$

T (n) = O (n) .

$T(n)=O(n).$

Theo trực giác, vì , các thuật ngữ và không đủ lớn để nâng lên lũy thừa của số mũ lớn hơn. $\dfrac12+\dfrac13\lt1$ $T(n/2)$ $T(n/3)$ $n$ $n$

Không có gì sai trong ứng dụng phương pháp Akra-Bazzi của bạn, điều này cho chúng ta biết rằng . $T(n)=\Theta(n)$

— John L
nguồn

4

Đặt . Sau đó thỏa mãn sự tái phát Đặc biệt, nếu thỏa mãn thì sẽ bao hàm . Đây là trường hợp cho tất cả . $S(n) = T(n)/n$ $S(n)$

S (n) \leq \frac{1}{2} S (\frac{n}{2}) + \frac{1}{3} S (\frac{n}{3}) + 1.

$S(n) \leq \frac{1}{2} S\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{1}{3} S\left(\frac{n}{3}\right) + 1.$

C

$C$

\frac{1}{2} C + \frac{1}{3} C + 1 \leq C

$\frac{1}{2} C + \frac{1}{3} C + 1 \leq C$

S (n / 2), S (n / 3) \leq C

$S(n/2),S(n/3) \leq C$

S (n) \leq C

$S(n) \leq C$

C \geq 6

$C \geq 6$

— Yuval Filmus
nguồn