Có bao nhiêu khoảng cách ngắn nhất thay đổi khi thêm một cạnh vào biểu đồ?

Đặt là một số đồ thị hoàn chỉnh, có trọng số, không bị chặn. Chúng tôi xây dựng một đồ thị thứ hai bằng cách thêm từng cạnh một từ đến . Chúng tôi thêm tổng cộng vào .G ' = ( V , E ' ) E E ' Θ ( | V | ) G $G=(V,E)$$G'=(V, E')$$E$$E'$$\Theta(|V|)$$G'$

Mỗi lần chúng ta thêm một cạnh vào , chúng ta sẽ xem xét khoảng cách ngắn nhất giữa tất cả các cặp trong và . Chúng tôi đếm có bao nhiêu khoảng cách ngắn nhất này đã thay đổi do hậu quả của việc thêm . Đặt là số khoảng cách ngắn nhất thay đổi khi chúng ta thêm cạnh thứ và gọi là số cạnh chúng ta thêm vào.E ′ ( V , E ′ ) ( V , E ′ ∪ { ( u , v ) } ) ( u , v ) C i i $(u,v)$$E'$$(V, E')$$(V, E' \cup \{ (u,v) \})$$(u,v)$$C_i$$i$$n$

Làm thế nào lớn là ?$C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

Như , là tốt. Điều này có thể được cải thiện? Lưu ý rằng tôi xác định là trung bình trên tất cả các cạnh đã được thêm vào, do đó, một vòng duy nhất có nhiều khoảng cách thay đổi không thú vị, mặc dù điều đó chứng tỏ rằng .C = O ( n 2 ) C C = Ω ( n $C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$$C=O(n^2)$$C$$C = \Omega(n)$

Tôi có một thuật toán để tính toán một t-spanner hình học tham lam hoạt động trong thời gian , vì vậy nếu là , thuật toán của tôi nhanh hơn thuật toán tham lam ban đầu và nếu là thực sự nhỏ, có khả năng nhanh hơn thuật toán được biết đến nhiều nhất (mặc dù tôi nghi ngờ điều đó).C o ( n 2 ) $O(C n \log n)$$C$$o(n^2)$$C$

Một số thuộc tính dành riêng cho vấn đề có thể giúp ràng buộc tốt: cạnh được thêm vào luôn có trọng lượng lớn hơn bất kỳ cạnh nào đã có trong biểu đồ (không nhất thiết phải lớn hơn). Hơn nữa, trọng lượng của nó ngắn hơn con đường ngắn nhất giữa và .bạn $(u,v)$$u$$v$

Bạn có thể giả sử rằng các đỉnh tương ứng với các điểm trong mặt phẳng 2d và khoảng cách giữa các đỉnh là khoảng cách Euclidian giữa các điểm này. Nghĩa là, mọi đỉnh tương ứng với một số điểm trong mặt phẳng và cho một cạnh trọng lượng của nó bằng$v$$(x,y)$$(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

Hãy xem xét chuỗi tuyến tính sau với các nút , n cạnh và các trọng số được chọn một cách luẩn quẩn:$n+1$$n$

^{[ nguồn ]}

Rõ ràng, các cạnh có thể đã được thêm vào theo thứ tự trọng lượng của chúng và có của chúng. Thêm rìa đứt (mà là hợp pháp) tạo ra con đường ngắn hơn cho tất cả các cặp ( u i , b j ) với i , j = 1 , ... , k . Như k ≈ $n \in \mathcal{O}(|V|)$$(u_i,b_j)$$i,j = 1,\dots,k$ và giả định rằngn∈Θ(|V|), cả hai dòng đầu tiên và cuối cùng chứaΘ(|V|)nhiều nút mỗi và việc bổ sung gâyΘ(|V|2)nhiều thay đổi con đường ngắn nhất.$k \approx \frac{n}{4}$$n \in \Theta(|V|)$$\Theta(|V|)$$\Theta(|V|^2)$

Bây giờ chúng ta có thể di chuyển "ra ngoài" ngay bây giờ, tức là thêm cạnh tiếp theo với trọng số giữa u k - 1 và b k - 1 , v.v. nếu chúng ta tiếp tục điều này thành ( u 1 , b 1 ) , chúng ta sẽ gây ra những thay đổi đường dẫn ngắn nhất Θ ( | V | 3 ) .$n+2$$u_{k-1}$$b_{k-1}$$(u_1,b_1)$$\Theta(|V|^3)$

Nếu điều này không thuyết phục bạn, hãy lưu ý rằng bạn thực sự có thể bắt đầu "quy trình" này với và làm việc từ đó; Bằng cách này bạn thêm ≈ n cạnh đó nguyên nhân trong tổng ≈ Σ n i = 1 i 2 ∈ Θ ( n 3 ) = Θ ( | V | 3 ) có nhiều thay đổi con đường ngắn nhất --- đây là chỉ là không thể rút ra để phù hợp trên một màn.$(c_1,c_2)$$\approx n$$\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$