Là phiên bản tiếng địa phương của vùng 3-SAT NP-hard?

Dưới đây là sự đơn giản hóa của tôi về một phần của dự án nghiên cứu lớn hơn về các mạng Bayes không gian:

Giả sử một biến là " -local" trong một chuỗi$k$$C \in 3\text{-CNF}$ nếu có ít hơn $k$ mệnh đề giữa mệnh đề đầu tiên và mệnh đề cuối cùng xuất hiện (trong đó $k$ là số tự nhiên).

Bây giờ hãy xem xét tập hợp con $(3,k)\text{-LSAT} \subseteq 3\text{-SAT}$ được xác định bởi tiêu chí cho bất kỳ $C \in (3,k)\text{-LSAT}$, mọi biến trong $C$ Là $k$-định hướng. Để làm gì$k$ (nếu có) là $(3,k)\text{-LSAT}$ NP-cứng?

Đây là những gì tôi đã xem xét cho đến nay:

(1) Biến thể về phương pháp thể hiện rằng $2\text{-SAT}$là trong P bằng cách viết lại mỗi hàm phân tách như một hàm ý và kiểm tra các đường dẫn có hướng trên biểu đồ có hướng của các hàm ý này (được ghi chú ở đây và được trình bày chi tiết trên trang 184-185 của Độ phức tạp tính toán của Papadimitriou ). Không giống như trong$2\text{-SAT}$, có sự phân nhánh của các đường dẫn trong $(3,k)\text{-LSAT}$, nhưng có lẽ số lượng đường dẫn được định hướng bị giới hạn bởi các ràng buộc không gian trên các biến. Không có thành công với điều này cho đến nay mặc dù.

(2) Giảm thời gian đa thức $3\text{-SAT}$ (hoặc vấn đề NP-đầy đủ đã biết khác) để $(3,k)\text{-LSAT}$. Ví dụ: tôi đã thử nhiều cách giới thiệu các biến mới. Tuy nhiên, tập hợp các mệnh đề có chứa biến ban đầu$x_k$ thường yêu cầu tôi kéo xung quanh "chuỗi" các mệnh đề bổ sung có chứa các biến mới và những điều này can thiệp vào các ràng buộc không gian trên các biến khác.

Chắc chắn tôi không ở trong lãnh thổ mới ở đây. Có một vấn đề NP-hard đã biết có thể được giảm xuống$(3,k)\text{-LSAT}$ hoặc các hạn chế về không gian ngăn chặn vấn đề trở nên khó khăn?

$(3,k)\text{-LSAT}$là trong P cho tất cả$k$. Như bạn đã chỉ ra, địa phương là một cản trở lớn đối với tính đầy đủ của NP.

Đây là một thuật toán đa thức.

Đầu vào: $\phi\in (3,k)\text{-LSAT}$, $\phi=c_1\wedge c_2\cdots \wedge c_m$, Ở đâu $c_i$ là $i$mệnh đề thứ.
Đầu ra: đúng nếu$\phi$trở thành 1 dưới sự phân công của tất cả các biến.
Thủ tục:

1. Xây dựng bộ $B_i$, các biến xuất hiện trong ít nhất một $c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k}$, $1\le i\le m-k$.
2. Xây dựng bộ $A_i=\{f: B_i\to\{0,1\} \mid c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k} \text{ become 1 under} f\}$.
3. Xây dựng bộ $E=\cup_i\{(f, g)\mid f\in A_i, g\in A_{i+1}, f(x)=g(x)\text{ for all }x\in B_i\cap B_{i+1} \}$
4. Để cho $V=A_1\cup A_2\cdots\cup A_{m-k}$. Xem xét đồ thị có hướng$G(V,E)$. Đối với mỗi đỉnh trong$A_1$, bắt đầu tìm kiếm theo chiều sâu trên $G$ để xem liệu chúng ta có thể đạt đến một đỉnh trong $A_{m-k}$. Nếu tìm thấy, trả lại đúng sự thật.
5. Nếu chúng ta đã đạt đến đây, trả lại sai.

Tính chính xác của thuật toán trên xuất phát từ yêu cầu sau.

Yêu cầu. $\phi$ là thỏa đáng $\Longleftrightarrow$ có một con đường trong $G$ từ một đỉnh trong $A_1$ đến một đỉnh trong $A_{m-k}$.
Bằng chứng.
"$\Longrightarrow$": Giả sử $\phi$ trở thành 1 theo sự phân công $f$. Để cho$f_i$ là hạn chế của $f$ đến $B_i$. Rồi chúng ta có một con đường.$f_1, \cdots, f_{m-k}$.
"$\Longleftarrow$": Giả sử có một con đường $f_1, \cdots, f_{m-k}$, Ở đâu $f_1\in A_1$ và $f_{m-k}\in A_{m-k}$. Xác định bài tập$f$ như vậy mà $f$ đồng ý với tất cả $f_i$, I E, $f(x)=f_i(x)$ nếu $x\in B_i$. Chúng tôi có thể xác minh rằng$f$được xác định rõ. Từ$c_\ell$ trở thành 1 cho một số $f_j$ cho tất cả $\ell$, $\phi$ trở thành 1 dưới $f$.

Số lượng đỉnh $|V|\le 2^{3(k+1)}(m-k)$. Do đó thuật toán chạy trong thời gian đa thức theo thuật ngữ$m$, số mệnh đề và $n$, số lượng biến tổng.