Tạo kết hợp từ một nhóm các cặp mà không lặp lại các phần tử

Tôi có một bộ các cặp. Mỗi cặp có dạng (x, y) sao cho x, y thuộc các số nguyên từ phạm vi [0,n).

Vì vậy, nếu n là 4, thì tôi có các cặp sau:

(0,1) (0,2) (0,3)
(1,2) (1,3) 
(2,3) 

Tôi đã có các cặp. Bây giờ, tôi phải xây dựng một tổ hợp bằng n/2các cặp sao cho không có số nguyên nào được lặp lại (nói cách khác, mỗi số nguyên xuất hiện ít nhất một lần trong kết hợp cuối cùng). Sau đây là các ví dụ về kết hợp đúng và không chính xác để hiểu rõ hơn

 1. (0,1)(1,2) [Invalid as 3 does not occur anywhere]
 2. (0,2)(1,3) [Correct]
 3. (1,3)(0,2) [Same as 2]

Ai đó có thể gợi ý cho tôi một cách để tạo ra tất cả các kết hợp có thể, một khi tôi có các cặp.

Một cách trực tiếp là một thủ tục đệ quy thực hiện như sau trên mỗi lần gọi. Đầu vào của thủ tục là một danh sách các cặp đã được chọn và một danh sách tất cả các cặp.

1. Tính số nhỏ nhất chưa có trong danh sách đầu vào. Đối với lần gọi đầu tiên, tất nhiên đây sẽ là 0, vì không có cặp nào được chọn.
2. Nếu tất cả các số được bảo hiểm, bạn có một kết hợp chính xác, in nó ra và trả lại bước trước đó. Mặt khác, con số nhỏ nhất chưa được khám phá là mục tiêu chúng ta sẽ nhắm tới.
3. Tìm kiếm thông qua các cặp tìm kiếm một cách để bao gồm số mục tiêu. Nếu không có, thì chỉ cần quay lại mức đệ quy trước đó.
4. Nếu có một cách để bao gồm số mục tiêu, hãy chọn cách đầu tiên và gọi lại toàn bộ quy trình một lần nữa, với cặp chỉ cần chọn thêm vào danh sách các cặp đã chọn.
5. Khi trả về, hãy tìm cách tiếp theo để che số mục tiêu bằng một cặp, mà không chồng chéo một cặp đã chọn trước đó. Nếu bạn tìm thấy một, chọn nó và một lần nữa gọi đệ quy tiếp theo.
6. Tiếp tục bước 4 và 5 cho đến khi không còn cách nào khác để che số mục tiêu. Đi qua toàn bộ danh sách các cặp. Khi không có lựa chọn chính xác hơn, quay trở lại mức đệ quy trước đó.

Cách để hình dung thuật toán này là với một cây có các đường dẫn là chuỗi các cặp không chồng chéo. Cấp độ đầu tiên của cây chứa tất cả các cặp chứa 0. Đối với ví dụ trên, cây là

           Nguồn gốc
             |
     ----------------
     | | |
   (0,1) (0,2) (0,3)
     | | |
   (2,3) (1,3) (1,2)

Trong ví dụ này, tất cả các đường dẫn qua cây thực sự cho các bộ sưu tập chính xác, nhưng ví dụ nếu chúng ta bỏ qua cặp (1,2) thì đường dẫn ngoài cùng bên phải sẽ chỉ có một nút và sẽ tương ứng với tìm kiếm ở bước 3 không thành công.

Các thuật toán tìm kiếm thuộc loại này có thể được phát triển cho nhiều vấn đề tương tự như liệt kê tất cả các đối tượng của một loại cụ thể.

Có ý kiến ​​cho rằng có lẽ OP có nghĩa là tất cả các cặp đều ở đầu vào, không chỉ là một bộ trong số chúng như câu hỏi nói. Trong trường hợp đó, thuật toán dễ dàng hơn nhiều vì không còn cần thiết phải kiểm tra cặp nào được phép. Thậm chí không cần thiết phải tạo tập hợp tất cả các cặp; mã giả sau đây sẽ làm những gì OP yêu cầu. Ở đây là số đầu vào, "danh sách" bắt đầu là một danh sách trống và "được bảo hiểm" là một mảng có độ dài n được khởi tạo thành 0. Nó có thể được thực hiện hiệu quả hơn một chút nhưng đó không phải là mục tiêu trước mắt của tôi.$n$$n$

sub cover {
  i = 0;
  while ( (i < n) && (covered[i] == 1 )) {
   i++;
  }
  if ( i == n ) { print list; return;}
  covered[i] = 1;
  for ( j = 0; j < n; j++ ) {
    if ( covered[j] == 0 ) {
      covered[j] = 1;
      push list, [i,j];
      cover();
      pop list;
      covered[j] = 0;
    }
  }
  covered[i] = 0;
}

Bạn có thể giải quyết nó lặp đi lặp lại. Giả sử bạn có tất cả các giải pháp cho phạm vi [ 0 , n ) . Sau đó, bạn có thể dễ dàng xây dựng các giải pháp S n + 2 từ S n . Kích thước tăng lên cực kỳ nhanh chóng với n , vì vậy có thể tốt hơn khi viết một trình tạo thay vì giữ tất cả các bộ trong bộ nhớ, xem ví dụ Python bên dưới.$S_n$$[0,n)$$S_{n+2}$$S_n$$n$

def pairs(n):
    if (n%2==1 or n<2):
        print("no solution")
        return
    if (n==2):
        yield(  [[0,1]]  )
    else:
        Sn_2 = pairs(n-2) 
        for s in Sn_2:
            yield( s + [[n-2,n-1]] )
            for i in range(n/2-1):
                sn = list(s)
                sn.remove(s[i])
                yield( sn + [ [s[i][0], n-2] , [s[i][1], n-1] ] )
                yield( sn + [ [s[i][1], n-2] , [s[i][0], n-1] ] )

Bạn có thể liệt kê tất cả các cặp bằng cách gọi

for x in pairs(6):
   print(x)

Cập nhật : câu trả lời trước đó của tôi xử lý các biểu đồ lưỡng cực, mà OP KHÔNG hỏi về. Tôi sẽ để nó bây giờ, như là thông tin liên quan. nhưng thông tin thích hợp hơn liên quan đến sự trùng khớp hoàn hảo trong các biểu đồ không phân nhánh.

Về vấn đề này, có một khảo sát tốt của Propp phác thảo tiến trình (đến năm 1999). Một số ý tưởng trong bài viết đó và các liên kết liên quan có thể chứng minh là hữu ích. TL; DR là - nó khó khăn :)

--- Bắt đầu câu trả lời cũ

Lưu ý rằng những gì bạn yêu cầu làm là liệt kê tất cả các kết hợp hoàn hảo có thể có trên biểu đồ lưỡng cực. Có nhiều thuật toán khác nhau để thực hiện điều này, và đặc biệt một trong những thuật toán gần đây nhất là từ ISAAC 2001 .

Ý tưởng cơ bản là tìm một kết hợp hoàn hảo bằng cách sử dụng các luồng mạng và sau đó liên tục sửa đổi điều này bằng cách sử dụng các chu kỳ xen kẽ (xem bất kỳ chương sách giáo khoa thuật toán nào về các luồng mạng để biết thêm thông tin).

Mỗi cặp bạn chọn sẽ loại bỏ hai hàng mà bạn không thể chọn nữa. Ý tưởng này có thể được sử dụng để thiết lập thuật toán đệ quy (trong Scala):

def combine(pairs : Seq[(Int,Int)]) : Seq[Seq[(Int, Int)]] = pairs match {
  case Seq() => Seq()
  case Seq(p) => Seq(Seq(p))
  case _ => {
    val combinations = pairs map { case (a,b) => {
      val others = combine(pairs filter { case (c,d) =>
        a != c && a != d && b != c && b != d
      })

      others map { s => ((a,b) +: s) }
    }}

    combinations.flatten map { _.sorted } distinct
  }
}

Điều này chắc chắn có thể được thể hiện một cách hiệu quả hơn. Cụ thể, ý tưởng không phải xem xét toàn bộ các hàng cho các kết hợp không được sử dụng bởi lệnh gọi đến filter.

Trong khi đã có nhiều câu trả lời đáng yêu cho câu hỏi, tôi nghĩ sẽ rất tốt nếu chỉ ra những mẹo cơ bản, chung chung, đằng sau chúng.

Việc tạo các kết hợp duy nhất sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu bạn có thể có tổng thứ tự các yếu tố được kết hợp . Bằng cách này, tính duy nhất được đảm bảo nếu chúng tôi chỉ cho phép các kết hợp được sắp xếp. Không khó để tạo ra các kết hợp được sắp xếp - chỉ cần thực hiện tìm kiếm liệt kê lực lượng vũ phu thông thường, nhưng ở mỗi bước chỉ chọn các phần tử lớn hơn các phần tử đã chọn ở mỗi bước.

Sự phức tạp thêm trong vấn đề cụ thể này là mong muốn chỉ nhận được các kết hợp độ dài n / 2 (độ dài tối đa). Điều này không khó thực hiện nếu chúng ta quyết định chiến lược sắp xếp tốt. Ví dụ, như được chỉ ra trong câu trả lời của Carl Mummet, nếu chúng ta xem xét một loại từ vựng, (từ trên xuống, bên trái trong sơ đồ trong câu hỏi), chúng ta rút ra chiến lược luôn lấy phần tử tiếp theo sao cho chữ số đầu tiên của nó là số nhỏ nhất vẫn chưa sử dụng.

Chúng tôi cũng có thể mở rộng chiến lược này nếu chúng tôi muốn tạo các chuỗi có độ dài khác. Chỉ cần nhớ rằng bất cứ khi nào chúng ta chọn một phần tử tiếp theo có số đầu tiên không phải là phần tử nhỏ nhất có sẵn, chúng ta sẽ loại trừ một hoặc nhiều hàng phần tử xuất hiện trên phần tiếp theo được sắp xếp, do đó độ dài tối đa của phần mở đầu giảm theo.

các cặp không có thứ tự[n]={1,⋯$n \choose 2$$[n] = \{1, \cdots, n\}$$[n]$$n$$K_n$$n$ đỉnh.

$[n]$$\mathsf{Perm}(K_n)$

Được biết, vĩnh viễn là # P - c $\mathsf{\#P\text{-}complete}$ $K_n$$\frac{n!}{2^{\frac{n}{2}}}$

$[n]$