Tìm đường đi ngắn nhất và dài nhất giữa hai đỉnh trong DAG

Cho một DAG không trọng số (đồ thị chu kỳ có hướng) và hai đỉnh và , có thể tìm đường đi ngắn nhất và dài nhất từ đến trong thời gian đa thức không? Độ dài đường dẫn được đo bằng số cạnh.s t s $D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

Tôi quan tâm đến việc tìm phạm vi độ dài đường dẫn có thể có trong thời gian đa thức.

Ps., Câu hỏi này là một bản sao của câu hỏi StackOverflow Đường dẫn dài nhất trong DAG .

Đối với vấn đề đường đi ngắn nhất, nếu chúng ta không quan tâm đến trọng lượng, thì tìm kiếm đầu tiên theo chiều rộng là một cách chắc chắn. Nếu thuật toán Dijkstra làm việc miễn là không có cạnh tiêu cực.

Đối với con đường dài nhất, bạn luôn có thể thực hiện Bellman-Ford trên biểu đồ với tất cả các trọng số cạnh bị phủ định. Hãy nhớ lại rằng Bellman-Ford hoạt động miễn là không có chu kỳ trọng lượng âm, và do đó hoạt động với bất kỳ trọng lượng nào trên DAG.

Đặt và m = | E ( G ) | . Gọi w ( a → b ) biểu thị trọng lượng của cạnh ( a → b ) . Giả sử rằng bạn muốn tìm chi phí đường dẫn tối thiểu và tối đa từ s đến t .$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

Bắt đầu từ , thực hiện như sau:$b := t$

1. Nếu đã được truy cập, trả về min ( b ) và max ( b ) đã tính . Nếu không thì đánh dấu b là đã truy cập.$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Xác định và ghi lại và max ( b ) như sau.$\min(b)$$\max(b)$

   • Nếu , lưu trữ min ( s ) : = max ( s ) : = 0 .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Khác đặt bỏ qua các đỉnh màmin(a)=max(a)=inaccessible. Khi tính toán tối thiểu và tối đa trên một tập hợp các cạnh trống (không có cạnh nào trongb hoặc bbị bỏ qua), hãy đặtmin(b $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$ .$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Bạn sẽ có thể chứng minh rằng thuật toán này chạy trong thời gian , bỏ qua thời gian cần thiết để khởi tạo tất cả các biến đỉnh.$O(m)$