NP Hidoku đã hoàn thành chưa?

Một Hidoku là một $n \times n$ lưới với một số nguyên điền sẵn từ 1 đến $n^2$ . Mục tiêu là tìm một đường dẫn các số nguyên liên tiếp (từ 1 đến $n^2$ ) trong lưới. Cụ thể hơn, mỗi tế bào của lưới điện phải chứa một số nguyên khác nhau từ 1 đến $n^2$ và mỗi tế bào có giá trị $z ≠ n^{2}$ phải có một tế bào người hàng xóm với giá trị $z + 1$ (cũng có thể là đường chéo).

Có phải NP khó quyết định liệu một Hidoku đã cho có thể giải được không? Những gì giảm có thể được sử dụng?

Chỉnh sửa: theo các ý kiến, tôi làm rõ một chút. Đã cho là một lưới các ô, một số trong chúng đã chứa các giá trị (số nguyên từ 1 đến n²). Chúng ta phải điền vào tất cả các ô còn lại bằng các số nguyên từ 1 đến $n^2$ , sao cho không có hai ô nào có cùng giá trị và mọi ô có giá trị đều có hàng xóm có giá trị . Nghĩa là, sau khi điền vào các ô, chúng ta phải tìm đường dẫn . Trong lưới, mà truy cập hợp lý mỗi ô. z + 1 1 , 2 , 3 , ⋯ , n $z ≠ n²$$z + 1$$1, 2, 3,\cdots, n^2$

Một ví dụ về Hidoku sẽ là http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Một Hidoku đã được giải quyết là http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , nơi bạn có thể thấy con đường tôi đang tham khảo.

Tôi nghĩ đó là -complete: như Raphael nhận thấy, chu trình Hamilton trên đồ thị lưới có vấn đề về lỗ là NP-đầy đủ ( Alon Itai, Christos H. Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Hamilton Paths in Grid Graphs. SIAM J. Comput. 11 (4): 676-686 (1982) ).$\sf{NP}$

Vì vậy, với một biểu đồ lưới có lỗ, bạn có thể dễ dàng xây dựng một trò chơi Hidoku tương đương trong đó các ô cố định ban đầu điền vào tất cả các đường chéo chẵn; các đường chéo lẻ rỗng tạo thành một đồ thị vô hướng tương đương với đồ thị lưới ban đầu G và Hidoku có một giải pháp khi và chỉ khi đồ thị lưới ban đầu có đường dẫn Hamilton.$G$$G$

Hình 1: biểu đồ dạng lưới có lỗ và câu đố Hidoku 12 × tương đương (các ô màu xanh biểu thị các ô được đánh số cố định ban đầu ($12 \times 12$ là ô đầu tiên, 144 là ô cuối cùng), các ô màu trắng là các ô mà người chơi phải điền, dòng màu tím chỉ ra chuỗi các ô được đánh số cố định ban đầu).$1$$144$

Các dòng phụ (điền) có thể được thêm vào phía dưới hoặc bên phải để làm cho nó một hình vuông.

Một ví dụ khác về việc giảm từ biểu đồ lưới thành câu đố Hidoku: biểu đồ lưới 6x4 được nhúng vào lưới 13x13 lớn hơn; các đường chéo chẵn được lấp đầy với các số cố định và các ô miễn phí còn lại tương đương với biểu đồ lưới ban đầu.

Hình ảnh đầy đủ với chuyển đổi có thể được tải về ở đây .

Một số lưu ý bổ sung để hoàn thành câu trả lời:

• vấn đề còn được gọi là Hidato ; bảng có thể có hình dạng tùy ý (nhưng như một khái quát của trường hợp vuông, nó vẫn là NP-hard);

• như được chứng minh chính xác bởi Steven Stadnicki trong câu trả lời của ông, không rõ ràng vấn đề nằm ở NP nếu lưới được lấp đầy một phần ban đầu không được đưa ra dưới dạng một mảng số nguyên nhưng được đưa ra trong một số biểu diễn cô đọng ; tuy nhiên rõ ràng là trong NP nếu bảng ban đầu được đưa ra bằng cách sử dụng$n \times n$ danh sách đại diện số nguyên hợp lý ;

• Tôi nghĩ rằng các quy tắc ban đầu của trò chơi nói rằng giải pháp nên là duy nhất ; Vì vậy, vấn đề là ở Hoa Kỳ (Mỹ-cứng) và không có khả năng ở NP.

Tóm lại, nếu chúng ta bỏ ràng buộc giải pháp duy nhất và chỉ định bảng ban đầu với danh sách số nguyên thì trò chơi là N P -complete.$n^2$$\sf{NP}$

$n\times n$$\Omega(n)$$n$$\lg n$$(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$$(x_i, y_i)$$w_i$$\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$$\Omega(n)$$o(n)$

$\Omega(n)$

(Đối với một cuộc thảo luận về các vấn đề tương tự, hãy xem câu hỏi của tôi trong một thời gian trở lại về sự phức tạp của Nurikabe cô đọng trên trang web cstheory.SE.)