Xấp xỉ xấp xỉ tiệm cận của một mối quan hệ tái phát (Akra-Bazzi dường như không áp dụng)

Giả sử một thuật toán có mối quan hệ lặp lại thời gian chạy:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

đối với một số hằng . Giả sử là đa thức trong , có lẽ là bậc hai. Nhiều khả năng, sẽ theo cấp số nhân trong . $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

Làm thế nào một người đi về phân tích thời gian chạy ( sẽ là tuyệt vời)? Định lý tổng thể và phương pháp Akra-Bazzi tổng quát hơn dường như không được áp dụng. $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— Austin Hội trưởng
nguồn

Tìm giới hạn dưới tốt thì dễ nhưng tìm giới hạn trên tốt thì khó, nhưng nói đại khái dường như gần với .

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

Nếu bạn vẫn đang tìm kiếm một câu trả lời, bạn nên kiểm tra Graham, Knuth và Patashnik, "Toán học cụ thể".

— Kaveh

Giả sử rằng là hằng số, chúng ta không cần bất kỳ giả định nào về , hay chúng ta?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— Raphael

Tham số có thể là trường hợp cụ thể. Sẽ thật tuyệt khi thấy thời gian chạy phụ thuộc vào .

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— Austin Hội trưởng

Tôi đã hỏi một câu hỏi liên quan rằng, cho đến nay, đã không đưa ra bất kỳ định lý chung nào cho sự tái phát của loại này.

— Raphael

Một cách tiếp cận có thể là bằng cách tương tự với phương trình vi phân. Đặt . Ở đây là một dạng tương tự rời rạc của đạo hàm đầu tiên của . Chúng ta có được mối quan hệ sau: Tương tự liên tục của điều này là phương trình vi phân hoặc, nếu bạn muốn thấy nó được viết khác: Đó là một phương trình vi phân. $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

Bây giờ bạn có thể thử giải phương trình vi phân cho hàm liên tục , sau đó đưa ra giả thuyết rằng một hàm tương tự sẽ là giải pháp cho mối quan hệ tái phát ban đầu của bạn và cố gắng chứng minh giả thuyết của bạn. Ít nhất, đây là một cách tiếp cận chung mà bạn có thể làm theo. $t(x)$

Tôi đã quên mọi thứ tôi từng biết về phương trình vi phân, vì vậy tôi không biết giải pháp phương trình vi phân, nhưng có lẽ bạn sẽ có thể giải nó bằng cách xem xét tất cả các kỹ thuật để giải phương trình vi phân.

— DW
nguồn

Donald J Newman dường như đã sử dụng kỹ thuật này thường xuyên, với kết quả tuyệt vời.

— Aryabhata

Mà không cần nhìn xa hơn. Không dễ để giải phương trình vi phân đó. Tôi không quá tin rằng nó có một giải pháp dạng đóng sau khi thử một vài dạng cơ bản cho .

t (x)

$t(x)$

— Được thông báo