Định lý cầu cho lý thuyết nhóm và ngôn ngữ chính thức

Có một số cách tự nhiên hoặc đáng chú ý để liên kết hoặc liên kết các nhóm toán học và ngôn ngữ chính thức CS hoặc một số khái niệm CS cốt lõi khác, ví dụ như máy Turing?

Tôi đang tìm kiếm tài liệu tham khảo / ứng dụng. Tuy nhiên, lưu ý rằng tôi biết về liên kết giữa các nhóm semigroup và ngôn ngữ CS (cụ thể là thông qua automata hữu hạn ). (Tài liệu này về semiautomata có bao giờ nhìn vào "nhóm-automata" không?)

Tôi đã thấy một bài báo cách đây nhiều năm có thể đến gần, chuyển đổi các bảng chuyển đổi TM thành một hoạt động nhị phân, đôi khi có thể là một nhóm trong một số trường hợp, có thể hình dung dựa trên một số loại đối xứng trong bảng trạng thái TM. Nó đã không khám phá điều đó đặc biệt, nhưng cũng không loại trừ nó.

Ngoài ra, đặc biệt, liên quan đến cơ thể lớn của nghiên cứu toán học về phân loại các nhóm hữu hạn , liệu nó có thể có ý nghĩa hay giải thích nào trong TCS không? Quan điểm "thấu kính thuật toán" của tòa nhà nghiên cứu toán học khổng lồ này là gì? Nó đang "nói" gì về một cấu trúc ẩn có thể có trong tính toán?

Câu hỏi này được lấy cảm hứng một phần từ một số ghi chú khác, ví dụ:

• Sử dụng các cấu trúc đại số trong TCS

• RJ Lipton theo định lý của Gromov

Trước tiên, hãy để tôi trả lời câu hỏi phụ của bạn: Tài liệu về semiautomata có bao giờ nhìn vào "nhóm-automata" không? . Câu trả lời là có. Trong cuốn sách của mình (Automata, ngôn ngữ và máy móc. Tập B, Nhà xuất bản Học thuật), S. Eilenberg đã đưa ra một đặc điểm của các ngôn ngữ thông thường được công nhận bởi các nhóm giao hoán và nhóm hữu hạn . Kết quả tương tự được biết đến với các nhóm nilpotent hữu hạn, các nhóm hòa tan và các nhóm siêu hòa tan.$p$

Các nhóm hữu hạn cũng đóng một vai trò quan trọng trong vấn đề tìm một bộ nhận dạng hoàn chỉnh cho các biểu thức chính quy. Một bộ hoàn chỉnh vô hạn đã được đề xuất bởi John Conway và phỏng đoán này cuối cùng đã được chứng minh bởi D. Krob. Có một số hữu hạn các danh tính "cơ bản", cộng với một danh tính cho mỗi nhóm đơn giản hữu hạn . Xem câu trả lời của tôi cho câu hỏi này để tham khảo.

Theo hướng ngược lại, lý thuyết automata hữu hạn dẫn đến một bằng chứng cơ bản về kết quả cơ bản trên lý thuyết nhóm tổ hợp, giống như công thức Schreier. Dựa trên cấu trúc liên kết giấy tinh tế của Stallings trên đồ thị hữu hạn .

Cũng theo hướng ngược lại, các nhóm tự động được xác định theo thuật ngữ tự động hữu hạn.

Các nhóm chuyên biệt cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết automata. Một ví dụ là đặc tính của các ngôn ngữ thông thường được công nhận bởi automata có thể đảo ngược chuyển tiếp với một số trạng thái ban đầu và cuối cùng.

Để có một kết nối rất tốt giữa các ngôn ngữ, các nhóm và logic không ngữ cảnh, hãy xem bài viết của David E. Muller và Paul E. Schupp, các ngôn ngữ không có ngữ cảnh, các nhóm, lý thuyết về kết thúc, logic thứ hai, các vấn đề ốp lát, di động automata, và hệ thống bổ sung vector .

$^1$$S_5$$A_5$

Về việc phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn, theo như tôi nhớ, nó được sử dụng ngầm trong một số thuật toán cho đẳng cấu nhóm, một vấn đề liên quan đến đẳng cấu đồ thị.

$g_1, ..., g_m$$a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$$x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$$\{g_1, ..., g_m\}$$x = y$

Có nhiều kết quả sâu sắc tạo điều kiện cho các lớp của các nhóm có vấn đề từ có thể giải quyết được. Cũng rất thú vị khi nghiên cứu sự phức tạp của việc quyết định các vấn đề từ (đối với các lớp của các nhóm có vấn đề từ có thể quyết định), xem ví dụ ở đây .

Với Google, tôi đã tìm thấy bài báo Đơn điệu tương đối miễn phí: giới thiệu và ví dụ, trong Semigroups, Ngôn ngữ chính thức và các nhóm của Jorge Almeida (bản dịch tiếng Anh trên Tạp chí Khoa học toán học , 144 (2): 3881 Thay3903, 2007) trên môn học này