Ví dụ về thuật toán trong đó thuật ngữ bậc thấp chi phối thời gian chạy cho bất kỳ đầu vào thực tế nào?

Ký hiệu Big-O ẩn các yếu tố không đổi, do đó, một số thuật toán tồn tại không khả thi đối với bất kỳ kích thước đầu vào hợp lý nào vì hệ số trên số hạng rất lớn.$O(n)$$n$

Có bất kỳ thuật toán đã biết nào có thời gian chạy là nhưng với một số thuật ngữ rất lớn đến mức đối với kích thước đầu vào hợp lý, nó hoàn toàn chi phối thời gian chạy? Tôi muốn sử dụng một thuật toán như thế này làm ví dụ trong một khóa học về thuật toán, vì nó đưa ra một lý do chính đáng tại sao ký hiệu big-O không phải là tất cả.$O(f(n))$$o(f(n))$

Cảm ơn!

Mật mã học là một ví dụ, nếu một suy biến. Ví dụ: phá mã hóa AES là - tất cả những gì bạn phải làm là tìm đúng khóa trong số hữu hạn, hoặc hoặc tùy thuộc vào kích thước khóa ( giả sử rằng đủ bản rõ được xác định để xác định khóa một cách rõ ràng). Tuy nhiên, ngay cả các hoạt động sẽ mất tất cả các máy tính ngày nay (một tỷ hoặc sau đó, mỗi hoạt động thực hiện khoảng một tỷ hoạt động mỗi sceond) nhiều hơn vòng đời của vũ trụ (khoảng một tỷ tỷ giây).2 128 2 192 2 256 2 $O(1)$$2^{128}$$2^{192}$$2^{256}$$2^{128}$

Một cách hơi khác để minh họa tại sao big-O không phải là tất cả để nhận xét rằng đôi khi chúng ta sử dụng một thuật toán khác nhau cho các kích thước đầu vào nhỏ. Ví dụ, dùng quicksort. Với sự lựa chọn đúng về trục (vốn là một công việc khó khăn!), Đó là . Quicksort hoạt động bằng cách phân chia và chinh phục: mọi trường hợp liên quan đến việc thực hiện rất nhiều cách sắp xếp các mảng nhỏ. Đối với các mảng nhỏ, các phương pháp bậc hai như sắp xếp chèn thực hiện tốt hơn. Vì vậy, để có hiệu suất tốt nhất, quicksort của một mảng lớn bao gồm rất nhiều lần chạy sắp xếp chèn cho kích thước nhỏ.$O(n \lg n)$

Hai ví dụ xuất hiện từ lĩnh vực phức tạp tham số hóa và thuật toán FPT. Điều này có thể không chính xác những gì bạn đang tìm kiếm, nhưng ở đây đi.

Hãy xem xét một vấn đề về đồ thị, chẳng hạn như 3-MÀU hoặc HAM-CYCLE. Cả hai vấn đề có thể được thể hiện trong logic thứ hai đơn âm, và do đó có thể được quyết định theo thời gian tuyến tính của đồ thị với treewidth giới hạn. Đây là kết quả của Bruno Courcelle , nhưng thuật toán kết quả khác xa với thực tế.

$O(p^{9p/2})L$$O(p^{2p}L)$$p$$L$

phần nào liên quan đến câu hỏi của bạn là các thuật toán được biết là có hiệu suất tốt về mặt lý thuyết nhưng không được sử dụng cho các vấn đề thực tế do tính không thực tế trong các trường hợp nhỏ hơn. nói cách khác như bạn yêu cầu, "hiệu suất được quảng cáo" chỉ có thể áp dụng cho các đầu vào lớn trên lý thuyết, không thấy trong các ứng dụng thực tế. điều này đôi khi được phản ánh trong các ước tính của Big-Oh, những lần khác không chính xác. một số thuật toán có "hiệu suất" lý thuyết tốt nhưng rất phức tạp về mặt logic và chưa từng được thực hiện bởi bất kỳ ai, và do đó "hiệu suất" trên kích thước cá thể thực tế thậm chí không được biết đến, ví dụ như với vấn đề Maximum Flow .

• kiểm tra tính nguyên thủy trong P thông qua thuật toán AKS

• Thuật toán nhân ma trận Coppersmith-winograd

• xem thêm là các thuật toán dòng chảy tối đa hiện đại thực tế? tcs.se

• xem thêm các thuật toán mạnh quá phức tạp để thực hiện tcs.se

• thuật toán thiên hà Blog của RJLipton

Đây là một trò đùa nhưng nó có một khía cạnh nghiêm trọng ...

$O(n\log n)$$O(n^2)$