Là NP-Min-Cut hợp lý?

Định nghĩa vấn đề logic cắt tối thiểu (LMC)

Giả sử là một sơ đồ không trọng số, và là hai đỉnh của và có thể truy cập được từ . Vấn đề LMC nghiên cứu làm thế nào chúng ta có thể làm cho thể truy cập được từ bằng cách loại bỏ một số cạnh của theo các ràng buộc sau:s t V t s t s $G = (V, E)$$s$$t$$V$$t$$s$$t$$s$$G$

1. Số lượng các cạnh bị loại bỏ phải là tối thiểu.
2. Chúng ta không thể loại bỏ mọi cạnh thoát của bất kỳ đỉnh (nghĩa là không có đỉnh nào có các cạnh đi ra có thể loại bỏ tất cả các cạnh đi của nó).$G$

Ràng buộc thứ hai này được gọi là loại bỏ logic. Vì vậy, chúng tôi tìm kiếm một cách hợp lý, loại bỏ tối thiểu một số cạnh của sao cho không thể truy cập được từ .t $G$$t$$s$

Cố gắng giải pháp

Nếu chúng ta bỏ qua các ràng buộc loại bỏ logic của vấn đề LMC, thì đó sẽ là vấn đề cắt tối thiểu trong sơ đồ không trọng số , do đó nó sẽ có thể giải được đa thức (định lý cắt cực tiểu dòng cực đại).$G$

Nếu chúng ta bỏ qua ràng buộc loại bỏ tối thiểu của vấn đề LMC, nó sẽ có thể giải quyết được một cách đa thức trong DAG: tìm một đỉnh sao cho có thể truy cập được từ và không thể truy cập được từ . Sau đó xem xét một đường dẫn là một đường dẫn tùy ý từ đến . Bây giờ hãy xem đường dẫn là một sơ đồ con của : câu trả lời sẽ là mọi cạnh thoát của sơ đồ con . Rõ ràng là đỉnh có thể được tìm thấy bởi DFS trong trong thời gian đa thức. Thật không may, thuật toán này không hoạt động nói chungk s t k p s k p G p k $k$$k$$s$$t$$k$$p$$s$$k$$p$$G$$p$$k$$G$ cho một đồ thị định hướng tùy ý.

Tôi đã cố gắng giải quyết vấn đề LMC bằng một kỹ thuật lập trình động nhưng số lượng trạng thái cần thiết để giải quyết vấn đề trở nên theo cấp số nhân. Hơn nữa, tôi đã cố gắng giảm một số vấn đề NP-Complete như 3-SAT, max2Sat, max-cut và clique cho vấn đề LMC mà tôi đã không tìm cách giảm.

Cá nhân tôi nghĩ rằng vấn đề LMC là NP-Complete ngay cả khi là DAG nhị phân (nghĩa là một DAG trong đó không có nút nào có mức độ lớn hơn 2).$G$

Câu hỏi

1. Là vấn đề LMC NP-Complete trong một máy đào tùy ý ? (câu hỏi chính)$G$
2. Là vấn đề LMC NP-Complete trong một DAG tùy ý ?$G$
3. Là vấn đề LMC NP-Complete trong DAG nhị phân tùy ý ?$G$

Đặt G = (V, E) là một DAG có trọng số, s và t là hai đỉnh của G và LSTMC = (G, s, t) là một ví dụ của bài toán cắt giảm logic logic. Rõ ràng là vấn đề LSTMC là NP. Bây giờ, chúng ta nên chỉ ra rằng LSTMC là NP-Hard. Chúng tôi giảm vấn đề hit-set thành vấn đề LSTMC. Đặt S = {s1, s2, ..., sn} là các tập đã cho và {a1, a2, ..., am} là tập hợp của tất cả các tập hợp. Với số k1, bài toán quyết định của bài toán nhấn xác định xem có tồn tại tập A với các phần tử k1 sao cho mọi phần tử của S (mỗi tập si st i = 1..n) chứa ít nhất một phần tử của A. Chúng tôi biểu thị bài toán nhấn là HS (S). Chúng tôi xây dựng DAG G weight có trọng số từ tập S theo Thuật toán HS2LSTMC. Thuật toán này coi s là đỉnh nguồn của DAG G. Với mỗi tập si của HS st i = 1..n, thuật toán xem xét đỉnh tương ứng, si, và thêm một cạnh với trọng lượng vô hạn từ s đến mỗi si. Sau đó, với mỗi phần tử aj của phép hợp các tập hợp đầu vào st j = 1..m, thuật toán sẽ xem xét đỉnh tương ứng, aj và thêm một cạnh có trọng số bằng không từ mỗi si cho bất kỳ aj st aj ∈si nào trong HS. Cuối cùng, thuật toán xem xét hai đỉnh cuối cùng được gọi là t và k và thêm hai cạnh từ mỗi aj st j = 1..m vào cả hai đỉnh cuối cùng. Rõ ràng là G có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.

Bây giờ, chúng ta nên chứng minh rằng HS (S) có câu trả lời với các phần tử k1 khi và chỉ khi LSTMC = (G ′, s, t) có câu trả lời với một số cạnh bị loại bỏ một cách hợp lý sao cho tổng trọng số của các cạnh bị loại bỏ là k1.

Để đơn giản, chúng tôi thực hiện phần bằng chứng này, bằng cách cung cấp một ví dụ:

Trong hình dưới đây, giả sử S = {s1, s2, s3} sao cho s1 = {1, 2, 3}, s2 = {1, 4} và s3 = {2, 5}. Hình. 2 cho thấy DAG G weight có trọng số của bài toán LSTMC tương ứng với bài toán nhấn HS (S). Trong ví dụ này, tập hợp A, cụ thể là tập hợp tất cả các phần tử của S, là A = {1, 2, 3, 4, 5}. Chúng ta có | S | = 3 và | A | = 5. Ví dụ này cho thấy cách giải quyết một trường hợp tùy ý của vấn đề tập hợp nhấn bằng sự trợ giúp của một trường hợp cụ thể của vấn đề cắt giảm logic logic trong DAG có trọng số. Nếu chúng ta tính toán một câu trả lời cho LSTMC = (G ′, s, t) và xem xét các cạnh bị loại bỏ của câu trả lời có dạng (aj, t) được gọi là E1 (1 j ≤ m), thì bộ đuôi của E1 là một câu trả lời cho HS (S). Một câu trả lời cho vấn đề LSTMC là tập hợp cạnh E1 = {(s1, 2), (s1, 3), (s2, 4), (s3, 5), (1, t), (2, t)}. Vì vậy, tập hợp đuôi của tập hợp con E2 = {(1, t), (2,

Dưới đây là (một nỗ lực tại) một thuật toán thời gian đa thức cho LMC trên tùy ý nhị phân DAG .$G$

Câu trả lời này Câu hỏi số 3. (Xin lỗi vì đã viết lộn xộn trước thời hạn. :))

Để bắt đầu, hãy ném ra "mãi mãi" bất kỳ đỉnh nào không thể tiếp cận được từ . Chúng tôi không quan tâm đến những, vì chính họ cũng không nằm trong bất kỳ s - t con đường.$s$$s$$t$

Tiếp theo, xác định các DAG phụ và B , ban đầu trống. Sau đó, cho tất cả các đỉnh v ∈ G - { s , t } ,$A$$B$$v \in G-\{s, t\}$

Kiểm tra xem có một đường dẫn từ đến t . Nếu vậy, thêm v để Một . Nếu không, hãy thêm v đến B .$v$$t$$v$$A$$v$$B$

Hãy để các cạnh của và B là những gây ra bởi các đỉnh trong mỗi bộ (cho bây giờ, bỏ qua bất kỳ cạnh từ s đến A , từ A đến t , và từ A đến B ; cũng lưu ý không có cạnh từ B đến t bởi xây dựng).$A$$B$$s$$A$$A$$t$$A$$B$$B$$t$

Sau đó, tính toán thời điểm đóng bắc cầu của . Cụ thể, chúng ta đang quan tâm đến việc tìm kiếm một số tập các đỉnh { một * } đó là những "lá" của tiểu DAG Một .$A$$\{a^*\}$$A$

Sửa chữa bất kỳ như . Quan sát rằng phải có một lợi thế cạnh đạo từ một * để t . Điều này là do, bởi xây dựng, (i) có một s - t con đường thông qua một * , (ii) không có đường dẫn từ một * qua B , và (iii) kể từ Một là bản thân một DAG và một * là một chiếc lá của A , không có đường đi từ a ∗ qua một đỉnh khác của A đến t .$a^*$$a^*$$t$$s$$t$$a^*$$a^*$$B$$A$$a^*$$A$$a^*$$A$$t$

$\{a^*\}$$B$$\{a^*\}$$t$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$a^*\rightarrow t$$s$$t$$a^*$$t$$a^*$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$\{a^*\}\rightarrow t$$k < |\{a^*\}|$$A$$s$$\{a^*\}$$t$

$G$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$B$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$s$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$$t$$s$$t$$s$

$A$

$O(|E|)$$O(|E|^2)$$O(|E|)$.

$O(|V|\cdot(|V|+|E|))$$O(|V|^3)$$O(|E|^2)$$O(|V|^2+|E||V|+|V|^3+|E|^2) = {\bf O(|V|^3+|E|^2)}$

$s$$t$