Bất biến cho vòng lặp lồng nhau trong chương trình nhân ma trận

Tôi đang làm luận án tốt nghiệp về việc chứng minh tính đúng đắn của chương trình để nhân 2 ma trận bằng logic Hoare. Để làm điều này, tôi cần tạo bất biến cho vòng lặp lồng nhau cho chương trình này:

for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 1:n
            C(i,j) = A(i,k)*B(k,j) + C(i,j);
        end
    end
end

Trước tiên, tôi đã cố gắng tìm ra bất biến cho vòng lặp bên trong, nhưng tôi không thể tìm thấy vòng lặp thực sự cho đến bây giờ. Có ai đó có thể giúp tôi tìm kiếm bất biến cho chương trình trên không?

Bạn cần dòng C(i:j) = 0ngay trước vòng lặp trong cùng; mặt khác, mã không chính xác

Giả sử rằng dòng đó được đặt đúng chỗ, đây là bất biến (mạnh nhất có thể) ngay trước khi gán trong vòng lặp trong cùng:

$$\begin{align*} C_{IJ} &= \sum_{k=1}^{n} A_{Ik}B_{kJ} & \text{for all $I$ and $J$ such that $1\le I < i$ and $1\le J\le n$} \\ \text{and}~~~ C_{iJ} &= \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kJ} & \text{for all $J$ such that $1\le J< j$} \\ \text{and}~~~ C_{ij} &= \sum_{K=1}^{k-1} A_{iK}B_{Kj}. \end{align*}$$ (Vâng, toàn bộ.) Bất biến ngay sau khi chuyển nhượng có$k$ thay cho $k-1$ trong tổng cuối cùng, nhưng khác là giống hệt nhau.

Không có thứ gọi là bất biến của bất cứ điều gì: bất kỳ vòng lặp nào cũng có rất nhiều bất biến. Bạn cần tìm một bất biến thú vị. Vì bạn đang cố chứng minh rằng vòng lặp tính toán nhân ma trận, nên bất biến của bạn phải ngụ ý rằng khi$i=j=k=n$, các hệ số của $C$ là những sản phẩm của ma trận $A \times B$, I E

$$\forall i \in [1,n], \forall j \in [1,n], C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) \cdot B(k,j)$$ Nó là khá tự nhiên để chuyên gia tài sản này của $i$ và $j$ để phỏng đoán một bất biến cho các vòng lặp bên ngoài và giữa:

• $\forall j \in [1,n], C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) \cdot B(k,j)$ ở vòng ngoài
• $C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) \cdot B(k,j)$ trên vòng lặp giữa

Mỗi lần chạy của vòng lặp bên trong sẽ thêm $k$thuật ngữ thứ cho tổng, dẫn đến bất biến được đề xuất:

$$C(i,j) = \sum_{l=1}^k A(i,l) \cdot B(l,j)$$ Thật dễ dàng để thấy rằng nếu bất biến này giữ, thì bất biến được đề xuất cho vòng lặp giữa giữ, và từ đó, bất biến được đề xuất cho vòng lặp bên ngoài giữ, và chương trình thực hiện những gì được mong đợi.

Những gì còn lại phải được chứng minh là điều kiện ban đầu. Bạn cần chứng minh rằng$\forall i, \forall j, C(i,j) = \sum_{l=1}^0 A(i,l) \cdot B(l,j)$, I E $\forall i, \forall j, C(i,j) = 0$khi vào chương trình. Bạn đã khởi tạo tốt hơn$C$vì vậy mà nó là như vậy. Ngoài ra, bạn có thể đạt được thuộc tính này bằng cách thực hiện khởi tạo bên trong vòng lặp giữa, ngay trước khi vào vòng lặp bên trong.