Đường dẫn không giao nhau ngắn nhất cho đồ thị được nhúng trong mặt phẳng euclide (2D)

Thuật toán nào bạn sẽ sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất của đồ thị, được nhúng trong mặt phẳng euclide, sao cho đường dẫn đó không chứa bất kỳ giao điểm nào (trong phần nhúng)?

Ví dụ: trong biểu đồ bên dưới, bạn muốn đi từ . Thông thường, một thuật toán như thuật toán của Dijkstra sẽ tạo ra một chuỗi như:$(0,0) \rightarrow (-3,2)$

Đồ thị đầy đủ:

Con đường ngắn nhất:

Con đường không giao nhau ngắn nhất:

Tuy nhiên, đường dẫn này tự giao nhau trên mặt phẳng euclide, do đó tôi muốn một thuật toán sẽ cho tôi chuỗi không giao nhau ngắn nhất, trong trường hợp này:

Con đường này dài hơn con đường ngắn nhất, nhưng nó là con đường không giao nhau ngắn nhất.

Có một thuật toán (hiệu quả) có thể làm điều này?

Nguồn TikZ

• Đồ thị đầy đủ .
• Con đường ngắn nhất .
• Con đường ngắn nhất không giao nhau .

NP-đầy đủ để thậm chí quyết định xem có con đường nào tồn tại không.

Rõ ràng có thể xác minh bất kỳ đường dẫn cụ thể nào là một đường dẫn hợp lệ trong biểu đồ đã cho. Do đó, bài toán độ dài giới hạn nằm trong NP, và tập hợp con của nó cũng là bài toán đường dẫn bất kỳ.

Bây giờ, để chứng minh độ cứng NP của bài toán đường dẫn bất kỳ (và do đó là bài toán độ dài giới hạn), chúng ta hãy giảm SAT-CNF cho vấn đề này:

Cấu trúc toàn cầu là một mạng lưới các mảnh dây liền kề bởi một cột của các mệnh đề. Công thức logic là thỏa đáng nếu tồn tại một đường không giao nhau qua biểu đồ.

Không thể vượt qua hai phần của con đường, nhưng không cần thiết phải vượt qua hai dây logic. Thay vào đó, luồng đường dẫn được đưa ra một cách nghiêm ngặt: một điểm dây được cho bởi hai nút. Trình tự các điểm dây qua đó đường đi qua bị ép bởi sự giảm. Logic được đại diện bởi nút nào được chọn. Bất kỳ con đường nào cũng có thể được chọn miễn là nó đi qua tất cả các điểm dây.

Trong sơ đồ này, đường dẫn được biểu thị bằng đường cong màu đỏ và luồng logic được biểu thị bằng các dây màu đen:

Bây giờ hãy xây dựng từng thành phần.

Dây điện sử dụng ba gạch: đường chéo, điểm nhánh và dây dọc. Hãy bắt đầu với cái khó nhất:

Ý tưởng cơ bản đằng sau giao cắt là chuẩn bị một đường dẫn cho mỗi cặp điểm dây và uốn cong các đường có thể đủ để tất cả các cặp ngoại trừ các cặp mã hóa cùng logic (đường dẫn tương thích) giao nhau. Tất nhiên chúng ta không thể chỉ nói hai cạnh song song cắt nhau, nhưng chúng ta có thể giới thiệu thêm 2 nút thứ tự để tạo hai đường dẫn giao nhau.

Giả sử các đường dẫn từ bắc sang tây và từ nam sang đông, chúng ta có thể: thu thập từng đường dẫn từ phía bắc với đường dẫn tương thích từ phía đông trên một đường (một số đường không tương thích sẽ giao nhau); lai mỗi cặp với nhau bằng cách đảo ngược thứ tự các cặp; phân phối các đường dẫn đến điểm cuối phía nam và phía tây của họ. Điều này được giải thích tốt nhất bằng một sơ đồ. Ở đây, mỗi cặp nút đại diện cho một điểm dây. Các đường dẫn có cùng mã màu (mang cùng logic) không giao nhau, các đường dẫn mã màu khác thực hiện:

Điểm nhánh và dây dọc hoạt động như nhau, nhưng có ít đường dẫn hơn để tương quan:

$\neg A \vee \neg B$

Có thể khái quát mức giảm này để mã hóa một cây AND và OR tùy ý bằng cách phân nhánh dây đọc theo cách khác nhau. Cụ thể, SAT-CNF và SAT-DNF đều có thể giảm đến vấn đề đường dẫn không giao nhau theo cách được mô tả như trên.

vấn đề dường như bắt nguồn từ Turan 1944. đây có vẻ như là một cuộc khảo sát tốt về lý thuyết và thuật toán, Số lượng đồ thị chéo: Lý thuyết và tính toán của Mutzel. wikipedia có một số thông tin dưới số lượng biểu đồ