Giải các phương trình lặp có chứa hai lệnh gọi đệ quy

15

Tôi đang cố gắng tìm một bị ràng buộc cho phương trình lặp lại sau đây: $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

Tôi cho rằng Định lý Master không phù hợp do số lượng các bài toán con và phép chia khác nhau. Ngoài ra cây đệ quy không hoạt động vì không có hay đúng hơn là . $T(1)$ $T(0)$

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— Laura
nguồn

5

Nếu bạn có sự tái phát của hình thức đó, thì PHẢI có trường hợp cơ sở, giả sử cho tất cả . Nếu không, thì không có gì để nói rằng sự tái phát sẽ giải quyết như thế nào: có thể cho tất cả , trong đó là kích thước của vấn đề ban đầu! .

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$

n < 100

$n < 100$

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$

n < 100

$n < 100$

m

$m$

— Alex ten Brink

15

Vâng, cây đệ quy vẫn làm việc! Hoàn toàn không thành vấn đề cho dù trường hợp cơ sở xảy ra ở hay hay hay thậm chí . Nó cũng không quan trọng giá trị thực tế của trường hợp cơ sở là gì; bất kể giá trị đó là gì, nó là một hằng số. $T(0)$ $T(1)$ $T(2)$ $T(10^{100})$

Nhìn qua kính Theta lớn, sự tái phát là . $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$

Rễ của cây đệ quy có giá trị . $n^2$
Rễ có ba con, với các giá trị , và . Do đó, tổng giá trị của tất cả trẻ em là . $(n/2)^2$ $(n/2)^2$ $(n/3)^2$ $(11/18) n^2$
Kiểm tra trạng thái: Rễ có chín cháu: bốn có giá trị , bốn có giá trị và một có giá trị . Tổng của các giá trị đó là . $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
Một bằng chứng cảm ứng dễ dàng ngụ ý rằng đối với mọi số nguyên , các nút ở cấp có tổng giá trị . $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
Các tổng mức tạo thành một chuỗi hình học giảm dần, do đó, chỉ có thuật ngữ lớn nhất . $\ell=0$
Chúng tôi kết luận rằng . $T(n) = \Theta(n^2)$

— JeffE
nguồn

14

Bạn có thể sử dụng phương pháp Akra-Bazzi tổng quát hơn .

Trong trường hợp của bạn, chúng tôi sẽ cần tìm sao cho $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

(cung cấp cho ) $p \approx 1.364$

và sau đó chúng ta có

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

Lưu ý rằng bạn không thực sự cần phải giải quyết cho . Tất cả những gì bạn cần biết là . $p$ $1 \lt p \lt 2$

Một phương pháp đơn giản hơn sẽ là đặt và thử chứng minh rằng bị chặn. $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— Aryabhata
nguồn

14

Đặt là tốc ký cho phía bên phải của sự tái diễn. Chúng tôi tìm thấy một thấp hơn và trên ràng buộc cho bằng cách sử dụng : $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

Nếu chúng ta sử dụng các resp thấp hơn. trên ràng buộc như phía bên tay phải của tái phát, chúng tôi nhận trong cả hai trường hợp của định lý tổng thể. Do đó, được bao bọc từ phía trên của và từ bên dưới bởi hay tương đương, . $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

Để chứng minh đầy đủ, bạn nên chứng minh rằng là hàm tăng. $T$

— Raphael
nguồn

chúng ta hãy tiếp tục cuộc thảo luận này trong trò chuyện

— Raphael

1

Thủ thuật đó sẽ không hiệu quả đối với các đợt tái phát tương tự, như

, có thể được giải quyết bằng các cây đệ quy. (Nhưng ngay cả cây đệ quy sẽ không hoạt động cho

, có thể được giải quyết bằng Akra-Bazzi.)

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— JeffE