Tại sao Akra-Bazzi cần chức năng thu phí g bị chặn?

Theo dõi câu trả lời của vonbrand, tôi muốn viết một tài liệu nhỏ về các định lý tổng thể mạnh hơn cho các sinh viên của chúng tôi, một trong số đó là định lý Akra-Bazzi. Tôi đã sao chép định lý từ bài báo của họ [1] và tìm thấy - bên cạnh một sự nhầm lẫn công chứng nhỏ - vấn đề sau.

Các tác giả yêu cầu (nhấn mạnh của tôi):

$g(x)$ được định nghĩa cho các giá trị thực $x$và bị giới hạn , chức năng tích cực và không tăng $\forall x \geq 0$

Đây, $g$ là chức năng thu phí, đó là sự tái phát có hình thức

$\qquad\displaystyle T(n) = g(n) + \sum_{i=1}^k a_i T\bigl(\lfloor n b_i^{-1} \rfloor\bigr)$.

Bây giờ, ở phần cuối của bài báo (p209), họ đưa ra nhiều ví dụ để áp dụng kết quả của họ và họ sử dụng các hàm trong $\Omega(n)$mà rõ ràng là không bị ràng buộc.

Từ việc lướt qua bằng chứng, họ dường như chủ yếu yêu cầu các tích phân của mẫu

$\qquad\displaystyle \int_a^b \frac{g(x)}{x^{p+1}} dx$

có giá trị hữu hạn. Vì vậy, yêu cầu$g$được giới hạn trên mỗi khoảng thời gian nhỏ gọn có thể là đủ; Tôi đã không làm việc thông qua các bằng chứng chi tiết. Có thể họ có nghĩa là?

Câu hỏi của tôi là: Định lý Akra-Bazzi nên được nêu như thế nào để nó phù hợp với bằng chứng và ví dụ?

1. Về giải pháp phương trình tái phát tuyến tính của M. Akra và L. Bazzi (1998)
2. Họ đòi hỏi $a_i \in R^{*+}$. Đây có phải là một số ký hiệu tôi không biết, hoặc một lỗi đánh máy? Tôi giả sử ý nghĩa dự định là$(0,\infty) \subseteq \mathbb{R}$.

Hãy xem ghi chú của Tom Leighton , được tham khảo từ bài viết trên Wikipedia. Ghi chú của ông rõ ràng có ít lỗi chính tả hơn giấy gốc. Điều kiện anh ấy yêu cầu$g$đang có sự tăng trưởng đa thức , điều đó có nghĩa là nếu bạn chia tỷ lệ đối số theo một hằng số, thì số lượng mà thang đo hàm cũng bị giới hạn bởi một hằng số.

Phiên bản đẹp nhất của định lý Akra-Bazzi mà tôi đã thấy là phiên bản của Lehman, Leighton, Meyer "Toán học cho khoa học máy tính" , cuộc thảo luận bắt đầu từ trang 1019. Có sẵn phiên bản in (cũ hơn). Không có bằng chứng, mặc dù. Sẽ cần phải xem qua ghi chú của Leighton để xác minh rằng các bài giảng / phiên bản sách là đúng (nó có một số điều kiện khác nhau, dễ kiểm tra hơn nhiều).