Phân đôi là gì? Liệu bản thân 2-SAT có phải là sự phân đôi của SAT không?

Gần đây, tôi đang đọc các bài báo về sự phân đôi . Tôi không hiểu điều kiện nào có thể được gọi là sự phân đôi ? Ý nghĩa của "một câu hỏi là trong P hoặc trong NP - hoàn thành " là gì? (giả sử P NP ) $\neq$

Ví dụ, tôi đã biết định lý phân đôi của Schaefer, trong đó phân đôi về "liệu một lớp SAT có trong P " được đưa ra hay không. Trong định lý này, phép phân đôi chứa sáu điều kiện, một trong số đó là "2-SAT".

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, liệu "2-SAT" có thể được gọi là phân đôi hay phân đôi tầm thường , bởi vì 2-SAT nằm trong P nhưng 3-SAT là NP - hoàn tất ? Nói cách khác, tôi tự hỏi rằng "nếu một lớp đặc biệt của NP - vấn đề hoàn chỉnh nằm ở P , thì lớp này là sự phân đôi? Hay là sự phân đôi tầm thường?"

complexity-theory np-complete satisfiability

— Miêu Đông Kinh
nguồn

Vâng, có một sự phân đôi về

-SAT. Như bạn nói, vấn đề nằm ở

khi và chỉ khi

(theo các giả định phức tạp thông thường).

k

$k$

P

$P$

k \leq 2

$k \leq 2$

— Pål GD

Một định lý phân đôi (thô) nói rằng trong một loại vấn đề nhất định, mỗi vấn đề nằm trong P hoặc NP-hard. Ví dụ, định lý phân đôi của Schaefer liên quan đến lớp các vấn đề có dạng . Dưới đây là một tập hợp các quan hệ Boolean, và là vấn đề quyết định satisfiability của mệnh đề đó là liên từ các mối quan hệ từ . Điều này được giải thích tốt nhất bằng một ví dụ. Vấn đề 2SAT là với $\mathrm{SAT}(S)$ $S$ $\mathrm{SAT}(S)$ $S$ $\mathrm{SAT}(S_2)$ $S_2$ bao gồm ba vị sau: Nghĩa là, mỗi phiên bản của 2SAT là một liên từ các mệnh đề của một trong ba dạng này, nơi bạn có thể thay thế bất kỳ biến nào bạn muốn cho . Một ví dụ khác,HORNSATlà trong đó là tập hợp vô hạn sau:

(x, y) \mapsto x \lor y, (x, y) \mapsto x \lor \neg y, (x, y) \mapsto \neg x \lor \neg y .

$(x,y) \mapsto x \lor y, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y.$

x, y

$x,y$

S A T (S_{H})

$\mathrm{SAT}(S_H)$

S_{H}

$S_H$

bang lý phân đôi Schaefer rằng đối với mỗihữu hạn

, vấn đề

là một trong hai trong P hoặc nó là NP- hoàn thành (đây là mộtsự phân đôivì chỉ có hai khả năng). Ví dụ: 2SAT và

-HORNSAT nằm trong P cho mọi

, trong khi 3SAT là NP-đầy đủ. Đây là bất ngờ vì nếu chúng tôi tin rằng P

\begin{matrix} x \mapsto x, x \mapsto \neg x, (x, y) \mapsto x \lor \neg y, (x, y) \mapsto \neg x \lor \neg y, \\ (x, y, z) \mapsto x \lor \neg y \lor \neg z, (x, y, z) \mapsto \neg x \lor \neg y \lor \neg z, \\ (x, y, z, w) \mapsto x \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, (x, y, z, w) \mapsto \neg x \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, \dots \end{matrix}

$\begin{gather*} x \mapsto x, \quad x \mapsto \lnot x, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y, \\ (x,y,z) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z, \quad (x,y,z) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z, \\ (x,y,z,w) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \quad (x,y,z,w) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \ldots \end{gather*}$

S

$S$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

k

$k$

k

$k$

\neq

$\neq$ Định lý của NP sau đó của Ladner cho thấy có những vấn đề trung gian - những vấn đề không thuộc P hay NP hoàn chỉnh. Định lý Schaefer cho thấy những vấn đề này không thể có dạng

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

$\mathrm{SAT}(S)$ $\oplus$ $S$ .

— Yuval Filmus
nguồn

Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn, tôi đã hiểu rõ hơn một chút, tuy nhiên, tôi thực sự bối rối về câu hỏi này: liệu "2-SAT" có thể được gọi là phân đôi hay không, bởi vì 2-SAT nằm trong P nhưng 3-SAT là NP- hoàn thành? Nói cách khác, tôi tự hỏi rằng "nếu một lớp đặc biệt của một vấn đề hoàn thành NP nằm trong P, thì lớp đặc biệt này là một sự phân đôi? Hay một sự phân đôi tầm thường?"

— Miao Dongjing

Nhưng tầm quan trọng của sự phân đôi là gì?

— Miao Dongjing

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

S

$S$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

\neq

$\neq$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ không bao giờ thể hiện hành vi này.

— Yuval Filmus

Trong khi nếu loại bỏ một trong sáu điều kiện trong định lý phân đôi của Schaefer, thì nó vẫn được gọi là phân đôi? Tôi nghĩ phần quan trọng là "nếu không, nó đã hoàn thành NP", nhưng anh ấy chỉ muốn đưa ra điều kiện càng nhiều càng tốt, phải không?

— Miao Dongjing

Tôi không thể theo bạn. Nếu bạn thay đổi định lý Schaefer thì bạn có thể nhận được một tuyên bố không đúng.

— Yuval Filmus

$\neq$ $K_5$ $K_{3,3}$

Lưu ý rằng sự phân đôi không phải là kết thúc của câu chuyện và có thể tạo ra một phân loại chi tiết hơn. Bạn có thể hoàn toàn với chúng tôi hoặc chỉ chống lại chúng tôi một chút. Một số trường hợp đa thức về định lý Schaeffer dễ hơn các trường hợp khác (Allender, Bauland, Immerman, Schnoor, Voller, "Sự phức tạp của các vấn đề thỏa mãn: Tinh chỉnh định lý Schaeffer" . Tạp chí Khoa học máy tính và hệ thống , 75: 245-254, 2009.)

— David Richerby
nguồn