Kết quả nghiên cứu của năm Chương trình nền tảng Univalent (Lý thuyết loại Homotopy) là gì

Viện nghiên cứu nâng cao đã có một chương trình đặc biệt kéo dài một năm dành cho Chương trình nền tảng Univalent .

Cuối cùng, họ đã sản xuất một cuốn sách và một kho lưu trữ mã .

Vào cuối của điều này, chúng ta thấy một mục blog trong tuyên bố khoa học Mỹ:

... Nó có thể cung cấp một nền tảng mới, khép kín cho tất cả toán học.

Bây giờ đây là một tuyên bố táo bạo. Ngược lại, tôi có thể thấy các tuyên bố khiêm tốn như một bằng chứng đơn giản trong Agda rằng tổng của hai tỷ lệ cược luôn luôn là một số chẵn .

Câu hỏi của tôi là: Những nghiên cứu mới lạ mà những người này thực sự sản xuất vào cuối năm? Tất cả các bài viết chỉ ra rằng họ đã viết một số mã trong Agda. Có phải chỉ là chúng ta có một cái nhìn mới về lý thuyết loại Martin-Löf với một số ứng dụng?

Giả định

Tôi hiểu các ý tưởng rộng hơn của lý thuyết loại Martin-Löf vì nó liên quan đến sự đồng hình giữa các loại và bằng chứng.

homotopy-type-theory

— mắt diều hâu
nguồn

Tôi không thấy mối liên hệ giữa Chương trình nền tảng Univalent và bằng chứng Agda đơn giản.

— Dave Clarke

Câu hỏi của tôi là nhận được những gì 'bằng chứng Agda / Coq của họ' được thêm vào. Tôi đã trình bày một ví dụ đơn giản về một bằng chứng Agda được viết tốt khác mà không tuyên bố là nền tảng của toán học.

— hawkeye

Táo khổng lồ vs cam nhỏ.

— Dave Clarke

Cuốn sách là đại diện của sản phẩm nghiên cứu của chương trình. Mã mà họ viết thực sự chủ yếu là ở Coq, theo hiểu biết của tôi, và chắc chắn sự phát triển đi kèm với cuốn sách được viết bằng Coq.

Lý thuyết loại Homotopy về cơ bản cấu thành Martin-Löf, cùng với tiên đề thống nhất , về cơ bản nói rằng các loại tương đương là bằng nhau. Khái niệm về sự tương đương xuất phát từ một quan điểm thiết lập mối liên hệ giữa lý thuyết đồng luân tổng hợp và lý thuyết loại Martin-Löf, do đó có tên. Tiên đề này nhường chỗ cho một lý thuyết loại mạnh mẽ mà cuốn sách cho thấy có khả năng suy luận về rất nhiều toán học nền tảng quan trọng hiện có.

Trên thực tế, phần 2 của cuốn sách bao gồm các phát triển của một phiên bản truyền thống, có động lực tôpô hơn của lý thuyết đồng luân, lý thuyết tập hợp, lý thuyết thể loại và một bài thuyết trình mang tính xây dựng tốt đẹp của các số thực. Tôi chưa khám phá mã Coq nhiều như vậy, nhưng sự hiểu biết của tôi là tất cả các bài thuyết trình này đều được kèm theo nguồn Coq tương ứng. Vì chúng ta có thể hình thành tất cả các nền tảng quan trọng này hoàn toàn trong lý thuyết loại đồng luân, giả thuyết rằng nó có thể là một nền tảng quan trọng cho toán học trong tương lai có ý nghĩa. Ý tưởng là các nhà toán học sẽ có thể mở rộng những phát triển tinh dịch này hướng tới nhiều kết quả hơn trong các lĩnh vực như đại số, cấu trúc liên kết và phân tích.

Với lý thuyết kiểu đồng luân liên quan đến việc có thể thực hiện toán học ở Coq thông qua sự tương ứng của Curry-Howard, bạn có thể nghĩ về lý thuyết loại đồng luân tương ứng với một ví dụ mạnh mẽ hơn của Curry-Howard. Đóng góp thú vị nhất của công việc này thực sự là nó mang lại cho các nhà toán học ngôn ngữ để nói về toán học theo lý thuyết loại, và ý tưởng là điều này sẽ cho phép một mặt, nhiều toán học hơn được đi kèm với các bằng chứng cơ học trong các trình duyệt như Coq, như cũng như bằng chứng máy tính tương ứng chặt chẽ hơn với tương đương tiếng Anh đơn giản của họ. Bất cứ ai đã sử dụng Coq sẽ nói với bạn rằng các bằng chứng mà bạn tạo ra thường không giống như bằng chứng tiếng Anh đơn giản tương đương.

— Ethan A. Kuefner
nguồn

Vì vậy, về cơ bản, bạn nói rằng họ đã dành một chút thời gian để thực hiện các khối xây dựng - nhưng họ chưa thêm bất cứ điều gì về hậu quả.

— hawkeye

Nó thực sự phụ thuộc vào những gì bạn có nghĩa là "hậu quả". Một số định lý thực sự không tầm thường (như

π_{1} (S^{1}) = Z

$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$ ) đã được chính thức chứng minh trong khung này, với ưu điểm là cả biểu thức và bằng chứng đều tương đối đơn giản với công thức mới này. Blog có nhiều cuộc thảo luận về kết quả như vậy. homotopytypetheory.org/blog

— cody

bạn có ý nghĩa gì bởi "lý thuyết đồng luân tổng hợp"?

— jonaprieto

@jonaprieto Lý thuyết đồng luân tổng hợp có nghĩa là chúng ta suy ra các định lý về các kiểu không gian đồng nhất chỉ sử dụng các thuộc tính bất biến mô hình của các loại đó và không phải là các mô hình cụ thể, như phức hợp CW, không gian tôpô hoặc các bộ đơn giản. Điều này tương tự như hình học Euclide tổng hợp, chứng minh các định lý bằng cách thao tác trực tiếp với các đường cong bằng cách sử dụng các cấu trúc hình học, trái ngược với phương pháp phân tích, chọn một trong những mã hóa không duy nhất của các đường cong đó làm giải pháp cho các phương trình.

— Anton Fetisov

Tương tự như vậy, trong lý thuyết đồng luân tổng hợp, chúng ta có thể nói về tính hợp đồng của một số không gian nhất định, về hiệu chỉnh đường dẫn và đồng âm, nhưng chúng ta không thể nói về tập hợp các điểm của một số không gian, phân biệt các không gian tương đương đồng nhất, như

R^{n}

$\mathbb R^n$ cho nhiều

n

$n$ hoặc sử dụng các thuộc tính không bất biến homotopy, như định nghĩa của một vòng tròn như là một tập hợp con trong

R^{2}

$\mathbb R^2$ (vì máy bay và tất cả các tập hợp con của nó là hợp đồng).

— Anton Fetisov