Định lý thạc sĩ không áp dụng?

Cho phương trình đệ quy sau

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ chúng tôi muốn áp dụng định lý Master và lưu ý rằng

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Bây giờ chúng tôi kiểm tra hai trường hợp đầu tiên cho $\varepsilon > 0$ , có nghĩa là cho dù

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ hoặc
$n\log n \in \Theta(n)$ .

Hai trường hợp không hài lòng. Vì vậy, chúng tôi phải kiểm tra trường hợp thứ ba, đó là liệu

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

Tôi nghĩ điều kiện thứ ba cũng không hài lòng. Nhưng tại sao? Và điều gì sẽ là một lời giải thích tốt cho lý do tại sao định lý Master không thể được áp dụng trong trường hợp này?

— Joachim
nguồn

Xem trường hợp 2 mẫu chung trong wiki .

Trường hợp ba không hài lòng vì

không phải là

cho bất kỳ

. Sử dụng quy tắc của l'Hôpital trên

giới hạn

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

Khi bạn chỉ ra rằng không có trường hợp nào được áp dụng, đó là bằng chứng cho thấy bạn không thể áp dụng định lý chính như đã nêu.

— Raphael

Ai cần Định lý chủ? Sử dụng cây đệ quy.

— JeffE

Câu hỏi tương tự trên math.SE .

— Raphael

Câu trả lời:

Ba trường hợp của Định lý tổng thể mà bạn đề cập đến đã được chứng minh trong phần Giới thiệu về thuật toán của Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest và Clifford Stein (tái bản lần 2, 2001).

Người ta quan sát chính xác rằng sự tái diễn trong câu hỏi nằm giữa Trường hợp 2 và Trường hợp 3. Đó là tăng nhanh hơn nhưng chậm hơn với mọi . $f(n) = n \log n$ $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

Tuy nhiên, định lý có thể được khái quát để bao quát sự tái phát này. Xem xét

$f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

$k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

Trong phần Giới thiệu về thuật toán , tuyên bố này được để lại như một bài tập.

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Thông tin chi tiết về Định lý tổng thể có thể được tìm thấy trong trang Wikipedia (imho) xuất sắc .

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

c

$c$

f (n) = n \log n

$f(n) = n \log n$

g (n) = n^{1 + ε}

$g(n) = n^{1+\varepsilon}$

\log n \notin Θ (n^{1 + ε}) .

$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Phác thảo bằng chứng của Định lý tổng thể cho trường hợp 2A.

Đây là bản sao lại các phần của bằng chứng từ Giới thiệu về Thuật toán với các sửa đổi cần thiết .

Đầu tiên chúng tôi chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề A:

Hãy xem xét một hàm trong đóKhi đó

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

h (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n .

$h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Chứng minh: Thay thế vào biểu thức cho người ta có thể nhận $h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

Nếu là công suất chính xác của khi tái phát người ta có thể viết lại thành Thay thế bằng , di chuyển ngoài và áp dụng Bổ đề A chúng ta nhận được $n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} T (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$

f (n)

$f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n)

$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$

Θ

$\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

Tổng quát hóa điều này thành một số nguyên tùy ý không phải là lũy thừa của nằm ngoài phạm vi của bài này. $n$ $b$

— Dmitri Chubarov
nguồn

Định lý Akra-Bazzi là một khái quát nghiêm ngặt của định lý tổng thể. Như một phần thưởng, bằng chứng của nó là một trận bão tuyết tích hợp sẽ khiến đầu bạn quay cuồng ;-)

Trong mọi trường hợp, Sedgewick trong cuốn "Giới thiệu về phân tích thuật toán" của mình lập luận một cách thuyết phục rằng người ta nên cố gắng chứng minh loại tiệm cận . $T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
nguồn