Số lượng con cháu của mỗi nút trong DAG

1) Có thuật toán nào tốt hơn O (| E |. | V |) ngây thơ để tính số lượng con cháu của mỗi đỉnh trong một DAG không?

2) Có một thuật toán trực tuyến để làm như vậy không, giả sử rằng các nút được thêm từng cái một và kết nối với một tập hợp con không trống của các nút hiện có?

Bối cảnh: Tôi quan tâm đến trường hợp m = O (n), hàng triệu đỉnh, hàng chục triệu cạnh thông thường. Ngoài ra, đếm số lượng con cháu cũng bị chìm sẽ hữu ích.

Một cách tiếp cận xác suất sẽ là băm nhỏ, như một cách để biểu diễn tập hợp con cháu của mỗi nút. Sự kết hợp của cấu trúc băm min là không đáng kể, và tính chính xác của liên kết có thể được ước tính từ số lượng trùng khớp trong băm nhỏ.

Tuy nhiên, tôi không chắc sẽ cư xử tốt như thế nào khi tuyên truyền DAG, theo trực giác có vẻ như các lỗi sẽ kết hợp khá nhanh.

Rất liên quan: /cstheory/553/what-bound-can-be-put-on-counting-reachable-nodes-in-a-dag Và thực sự là một bản sao của: https: // cstheory.stackexchange.com/questions/18787/what-is-the-fastest-deterministic-alerskym-for-incremental-dag-reachability

1. Sắp xếp theo cấu trúc liên kết các nút trong DAG của bạn.
2. Đối với mỗi nút N, thiết lập N.QueryCount = 0.
3. Đối với mỗi nút N, theo thứ tự tôpô ngược:
   • Đặt N.Descendants = {N} U {C.Descendants | C in N.Children}.
   • Năng suất (N, N.Descendants.Count)từ thuật toán.
   • Nếu N.Parentstrống, bạn có thể xử lý N.Descendants.
   • Đối với mỗi Ctrong N.Children, tăng C.QueryCount. Nếu C.QueryCount == C.Parents.Count, bạn có thể loại bỏ C.Descendants.

Điều này tất nhiên là đắt tiền nếu độ nút của bạn lớn. Độ phức tạp tồi tệ nhất có thể không tốt hơn đáng kể so với "thuật toán ngây thơ" không xác định của bạn.

Vấn đề là đây là một vấn đề rất khó giải quyết. Giả sử có một DAG với hàng triệu nút, hàng triệu cạnh, v.v. Tôi chỉ cho bạn phần này của biểu đồ:

A--> B
 \-> C

Có bao nhiêu con cháu A? Số lượng con cháu Bcộng với số lượng con cháu Ctrừ đi số lượng con cháu chung của Bvà C. Đó là thuật ngữ thứ ba tạo ra khó khăn. Bạn không thể biết số lượng con cháu của Bvà C- bạn cũng cần biết con cháu là gì.

Liệt kê tất cả các hậu duệ của tất cả các đỉnh có thể tạo ra đầu ra có kích thước O(n²), ví dụ nếu biểu đồ là đồ thị tuyến tính thì đỉnh không có cạnh đến có n - 1hậu duệ, đỉnh sau n - 2, v.v.

Điều này để lại câu hỏi nếu bạn có thể xác định số lượng con cháu mà không liệt kê chúng. Tôi không thể đưa ra một bằng chứng nhưng tôi khá tự tin câu trả lời là không. Giả sử một đỉnh xcó con uvà vsau đó bạn phải tìm tính chính của giao điểm của các tập hợp con cháu uvà vnhưng không có gì bạn biết về tập hợp đó - uvà vkhông thể chia sẻ một hậu duệ hoặc chúng có thể có cùng một tập hợp con cháu .