Giải quyết tái phát T (n) = 3T (n-2) bằng phương pháp lặp

Đã được một thời gian kể từ khi tôi phải giải quyết một đợt tái phát và tôi muốn chắc chắn rằng tôi hiểu phương pháp lặp để giải quyết những vấn đề này. Được:

$$T(n) = 3T(n-2)$$

Bước đầu tiên của tôi là lặp đi lặp lại các thuật ngữ để đi đến một hình thức chung:

$$T(n-2) = 3T(n-2 -2) = 3T(n-4)$$ $$T(n) = 3 *3T(n-4)$$

dẫn đến hình thức chung:

$$T(n) = 3^k T(n-2k)$$

Bây giờ tôi giải quyết $n-2k = 1$ cho $k$, đó là điểm dừng tái phát (nơi $T(1)$) và chèn giá trị đó ($n/2 - 1/2 = k$) vào dạng chung:

$$T(n) = 3^{n/2-1/2}$$ $$T(n) = O(3^n)$$

Tôi không chắc chắn về bước cuối cùng đó:

Tôi sẽ chỉ "tranh luận" rằng $n \to \infty$ người ta có thể bỏ qua $-1/2$ và $n/2 \to n$? Giả định đó có đúng không?

Lưu ý rằng $3^{n/2-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} 3^{n/2} = \frac 1{\sqrt{3}} \sqrt{3^n}$. Nên$-\frac 12$ thực sự trở thành một yếu tố bất biến được hấp thụ bởi $O()$, nhưng $\frac n2$ trong số mũ thay đổi cơ sở và thay đổi cơ sở thay đổi $O$-lớp học.

Câu trả lời đúng là $T(n) = O(3^{n/2}) = O(\sqrt{3^n})$.

Mọi thứ đã chính xác cho đến bước cuối cùng ... bạn đã tìm thấy:

$$T(n) \propto 3^{\frac{n}{2}- \frac{1}{2}} = \left(3^{n - 1}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}\right)^n$$