Giải quyết mối quan hệ tái phát 'Chip & Conquer'

Tôi đã được giao nhiệm vụ giải quyết một số mối quan hệ tái phát và tôi đã gặp rắc rối với mối quan hệ được gọi là 'chip & chinh phục'.

Dưới đây là một số vấn đề ví dụ:

$$T(n) = T(n-5) + cn^2$$

và

$$T(n) = T(n-2) + \log{n}$$

Tôi phải trả lời $\Theta$ký hiệu. Làm thế nào để tôi đi xung quanh và giải quyết các mối quan hệ như thế này?

Để đơn giản, hãy giả sử rằng $5$ chia $n$ và đó $n/2=n-5k$ cho một số nguyên $k>0$.

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + cn^2 \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &= c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n - 15)^2 + ... + 5^2 + 0^2) \\ &\ge c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n / 2)^2) \ge c(n / 2)(1 / 5)(n / 2)^2) \\ &= cn^3 / 40 = (c / 40)n^3 \\ &= \Omega(n^3) \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &\le c(n / 5)n^2 \le cn^3 \\ &= O(n^3) \\ \end{align*}$$

Chúng tôi kết luận rằng $T(n) = \Theta(n^3)$.

---

Chúng ta hãy giả sử cho đơn giản rằng $n/2 = n-2k$ cho một số nguyên $k>1$.

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\ge \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(n / 2) \ge (n / 2)log(n / 2) \\ &= \Omega(n \log n) \\ T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\le (n / 2) \log n \\ &= O(n \log n) \\ \end{align*}$$

Chúng tôi kết luận rằng $T(n)=\Theta(n \log n)$.

Mở rộng sự tái phát và tổng hợp nó.

Ví dụ 1:

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + O(n^2) = T(n-10) + O(n^2) = \dots \\ &= T(0) + \{\text{\(n/5\) terms, each \(O(n^2)\)}\} \end{align*}$$

Bây giờ hãy nói $T(0) = c$. Điều này thường được đưa ra trong câu hỏi.

vì vậy điều này sẽ tổng hợp để $(n/5).O(n^2) = O(n^3)$

Ví dụ 2:

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2)+\log n = T(n-4)+\log(n-2) + \log(n) = \dots \\ &= T(0) + \log(n-2^k) + \dots + log(n) = c + \log(n-2^k) + \dots + \log(n-2) + \log(n) \\ &= c + n \log(n) \end{align*}$$