Vấn đề tương ứng của Post có thể quyết định với kích thước từ cố định không?

Vì vậy, người ta biết rằng PCP là không thể giải quyết được ngay cả khi chúng tôi sửa số lượng gạch thành $n \geq 7$.

Tôi tự hỏi, có thể nói bất cứ điều gì tương tự khi có độ dài từ cố định không?

Nói chính xác, đây là vấn đề:

Đã sửa $m$ và $n$, với $n \geq 7$và từ $u_1, \ldots u_n$ và $v_1 \ldots v_n$ như vậy mà $|u_i| \leq m$ và $|v_i| \leq m$, có một chuỗi chỉ mục $i_1, \ldots i_k$ như vậy mà $u_{i_1} \cdots u_{i_k} = v_{i_1} \cdots v_{i_k}$.

Cho những giá trị nào của $m$, nếu có, điều này được biết là không thể giải quyết được?

Lưu ý rằng điều này tương tự với câu hỏi này , nhưng không có bài nào trong số 8 bài được liên kết có vẻ như tiêu đề của họ trả lời câu hỏi của tôi và tôi chưa đọc hết 8 bài trong số đó.

Cho tất cả $m \geq 3$, vấn đề là không thể giải quyết được.

Bằng chứng bằng cách giảm từ vấn đề từ ngữ pháp không hạn chế:

1. Lấy một ngữ pháp chính thức tùy ý. Wlog tất cả các bên trái và bên phải của quy tắc có độ dài tối đa$3$.

   Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách dịch bất kỳ ngữ pháp nào thành một TM tương đương và sau đó chuyển đổi trở lại .

2. Ánh xạ ngữ pháp kết quả đến các trường hợp PCP ; không có ô nào dài hơn bên trái hoặc bên phải dài nhất của quy tắc.

   Đó là, với bước 1, tất cả các ô có chiều dài $\geq 3$.