Giải quyết mối quan hệ lặp lại

Giải quyết mối quan hệ lặp lại . Cuốn sách mà ví dụ này là, tuyên bố sai rằng bằng cách đoán và sau đó tranh luận $T(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + n$
$T(n) = O(n)$$T(n) \leq cn$

$\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*}$

vì là hằng số. Lỗi là chúng tôi chưa chứng minh được hình thức chính xác của giả thuyết quy nạp.$c$

Ở trên tôi đã trích dẫn chính xác những gì cuốn sách nói. Bây giờ câu hỏi của tôi là tại sao chúng ta không thể viết trong đó và bây giờ chúng ta có và do đó ?$cn+n=dn$$d=c+1$$T(n) \leq dn$$T(n) = O(n)$

Ghi chú:

1. Câu trả lời đúng là$T(n) =O(n \log n).$
2. Cuốn sách tôi đang đề cập ở đây là Giới thiệu về thuật toán của Cormen và cộng sự, trang 86, ấn bản thứ 3.

Các tác giả đưa ra câu trả lời:

Lỗi là chúng tôi chưa chứng minh được hình thức chính xác của giả thuyết quy nạp, nghĩa là .$T(n) \leq cn$

Cấp, đó là điều khó hiểu nếu bạn không quen làm cảm ứng (phải), vì họ không thực hiện quy nạp một cách rõ ràng / chặt chẽ. Tóm lại: bạn cần phải có một hằng số cho tất cả , nhưng bằng chứng này (un) xây dựng nhiều (một trên ).$c$$n$$n$

Nói lâu, hãy nhớ nghĩa là gì:$T(n) \in O(n)$

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \exists n_0 \in \mathbb{N}.\, \forall n \geq n_0.\, T(n) \leq cn$

hoặc, tương đương,

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \forall n \in \mathbb{N} T(n) \leq cn$ .

Các hình thức thứ hai hoạt động tốt hơn cho một cảm ứng như bạn biết neo. Vì vậy, bạn cần một hằng số cung cấp giới hạn trên cho tất cả .$c$ $n$

Hãy xem xét cảm ứng làm gì:

• Neo cảm ứng: Neo của không được cung cấp rõ ràng, nhưng nó không đổi, vì vậy chúng tôi tìm thấy một phù hợp .$T$$c$
• Giả thuyết cảm ứng: Có một số $c$ vậy nên $T(k) \leq cn$ cho tất cả $k\leq n$, đối với một số tùy ý nhưng cố định $n$.
• Bước quy nạp: như thể hiện trong câu hỏi, xây dựng $d > c$ vậy nên $T(n+1) \leq dn$.

Vì vậy, trong thực tế, chúng tôi xây dựng một hằng số mới cho mọi$n$. Điều đó không phù hợp với định nghĩa của$O$ở tất cả! Và, tệ hơn, nó hoàn toàn vô nghĩa: mọi chức năng đều có thể bị "giới hạn" bởi bất kỳ chức năng nào khác nếu bạn có thể điều chỉnh hệ số với$n$.

Về bằng chứng cảm ứng, $c$ phải là một phần của yêu cầu (và nó được ẩn trong $O$), đó là ràng buộc "bên ngoài" của cảm ứng. Sau đó, giống nhau$c$hiện lên trong neo, giả thuyết và bước. Xem phần cuối của câu trả lời này để biết ví dụ.