Tại sao các bằng chứng không tương đối được ưa thích hơn các bằng chứng tương đối hóa?

Tôi xin lỗi, nhưng ngay cả sau hai bài đăng khác: ở đây và ở đây tôi vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu các TM tiên tri và thuyết tương đối hóa. Câu hỏi này xuất phát từ vấn đề từ một góc độ khác:

Tại sao các bằng chứng không tương đối hóa được coi là hợp lệ hơn các đối số dựa trên kết quả tương đối hóa?

Ví dụ: chúng tôi có bằng chứng không tương đối về IP = PSPACE, nhưng chúng tôi không thể nói một lập luận ngược lại bởi thực tế là có tồn tại một lời tiên tri ngăn cách họ (tôi nhận ra từ một câu trả lời cho câu hỏi tôi trước đây đã hỏi rằng nhà tiên tri này tồn tại do sự khác biệt về cấu trúc giữa hai lớp phức tạp, nhưng tôi thấy rằng càng có nhiều bằng chứng cho thấy các lớp khác nhau theo những cách quan trọng và có thể không bằng nhau).

Mặt khác, tại sao chúng ta lại kết luận từ thực tế là có tồn tại các phép lạ và sao cho và rằng các kỹ thuật không tương đối sẽ cần thiết để giải quyết P vs. NP và không chỉ giải quyết rằng các nhà tiên tri dẫn đến mâu thuẫn vốn có vì chúng ta không thể có cả P = NP và P $A$ $B$ $P^A = NP^A$ $P^B \neq NP^B$ $\neq$ NP? Một lần nữa, tôi nhận ra từ một bài đăng trước đó rằng chúng ta có thể xem các orc TM là các mô hình tính toán khác nhau có thể giải quyết các vấn đề về TM thông thường không thể, nhưng tôi thấy điều này tương tự như "lý thuyết về chiến thuật loại" được sử dụng trong Princia Mathematica, theo tôi hiểu biết, Godel (thông qua các định lý không đầy đủ) tỏ ra không đủ để giải quyết các vấn đề về tính hoàn chỉnh và tính nhất quán của các hệ tiên đề.

— Ari
nguồn

Bạn nói "lập luận tương đối"; thay vào đó, bạn thực sự có nghĩa là "đối số sử dụng tương đối hóa" hay "đối số về các lớp tương đối hóa"?

@Ricky Xin lỗi vì tôi không rõ ràng. Tôi có nghĩa là cả hai đối số dựa trên kết quả tương đối hóa và phương pháp tương đối hóa (ví dụ diagonaLization)?

— Ari

"Ví dụ: chúng tôi có" rằng,"Nhưng chúng ta không thể nói một lập luận ngược lại bởi thực tế là có tồn tại" một cơ sở "ngăn cách chúng"?

6 + 7 = 13

$\;\; 6+7 \: = \: 13 \;\;$

$\;\;$

$\;\;\;\;\;\;$

Orials không dẫn đến mâu thuẫn vốn có. Thực tế là có các phép lạ và st nhưng không có nghĩa là và . Điều đó có nghĩa là có những siêu năng lực mà bạn có thể thêm vào các máy Turing để những thứ bạn có thể làm một cách xác định trong đa thời gian cũng giống như những thứ bạn có thể làm không nhất định, và có những siêu năng lực khác mà bạn có thể thêm vào máy không phá hủy có thể làm nhiều hơn nữa.

A

$A$

B

$B$

P^{A} = N P^{A}

$P^A=NP^A$

P^{B} \neq N P^{B}

$P^B\neq NP^B$

P = N P

$P=NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— David Richerby

Điều này có thể được giải quyết ở đây .

— Raphael

Hãy để tôi thử trả lời câu hỏi nhiều mặt của bạn bằng cách sử dụng một phép so sánh từ lý thuyết số (hay đúng hơn là số học Peano). Quan điểm của người theo chủ nghĩa Platon cho rằng mọi câu hỏi về số tự nhiên đều có câu trả lời CÓ / KHÔNG. Điều này được gọi là "số học thực sự". Tuy nhiên, như Gôdel đã chỉ ra, một số mệnh đề liên quan đến số tự nhiên có thể không được chứng minh cũng không bị bác bỏ. Quan điểm của người theo chủ nghĩa Platon vẫn cho rằng các mệnh đề này có giá trị chân lý xác định đối với tập hợp các số tự nhiên "thực"; Gôdel chỉ cho thấy rằng không có danh sách hữu hạn các tiên đề ¹ có thể chỉ định tập hợp số tự nhiên thực sự.

Chúng ta hãy xem điều này ngụ ý gì về câu hỏi P so với NP. Quan điểm của người theo chủ nghĩa Platon cho rằng P = NP hoặc P NP. Có thể là P so với NP độc lập với nền tảng của toán học (giả sử, ZFC), trong trường hợp đó chúng ta sẽ có thể chứng minh cả P = NP và P NP. Nhưng theo hầu hết các nhà nghiên cứu, khả năng này là không thể. Do đó, chúng tôi thực sự muốn biết liệu P = NP hay không trong thế giới thực , giống như ² cho dù P = NP hay không theo các nền tảng tiêu chuẩn của toán học . Đây là câu hỏi nghiên cứu. $\neq$ $\neq$

Những gì về mô hình tương đối? Hãy để tôi cung cấp một tương tự từ lý thuyết số. Nếu một danh tính đa thức là đúng trên các số nguyên thì đó cũng là modulo đúng cho mọi số nguyên tố . Vì vậy, để từ chối một danh tính, nó đủ để cho thấy rằng nó không giữ cho một số . Chúng ta có thể nghĩ các số nguyên modulo là một "mô hình tương đối hóa". Hãy xem xét một ví dụ: modulo nhưng không phải modulo . Có nghĩa là chúng ta không còn chắc chắn liệu hay không? Không có gì. Chúng tôi biết rằng và đặc biệt là $p$ $p$ $p$ $p$ $1 + 1 = 0$ $2$ $3$ $1 + 1 = 0$ $1 + 1 = 2$ $1 + 1 \neq 0$ . Nhưng trong một số mô hình tương đối hóa, phương trình này không giữ được.

Nguyên tắc toàn cầu (không chính thức) nói rằng trong một số tình huống, có một bộ "mô hình tương đối hóa" hoàn chỉnh cho một số báo cáo lý thuyết số. Ví dụ cổ điển là các dạng bậc hai: được đưa ra một dạng bậc hai và một số , sau đó đại diện cho trên các số hữu tỷ (nghĩa là nằm trong ảnh của khi các đầu vào là các số hữu tỷ tùy ý) nếu nó đại diện cho trên số thực số và -adics. $Q$ $n$ $Q$ $n$ $n$ $Q$ $n$ $p$

Thật không may, chúng ta không có định lý tương tự cho lý thuyết phức tạp. Cụ thể, với giá trị thật của các tuyên bố tương đối, chúng ta không thể suy luận gì về tuyên bố ban đầu. Tình hình thậm chí còn tồi tệ hơn: không còn là trường hợp kết quả đúng trong thế giới "thật" cũng có liên quan đến bất kỳ lời sấm truyền nào. Vì vậy, chúng tôi thậm chí không thể mong đợi các tuyên bố như nguyên tắc toàn cầu cục bộ được tổ chức ở đây.

Một cái gì đó như "kỹ thuật tương đối hóa" cũng xảy ra trong số học Peano. Có những tuyên bố liên quan đến các số tự nhiên có thể được chứng minh trong ZFC nhưng không có trong số học Peano. Các ví dụ cổ điển là định lý Paris Gian Harrington và định lý Goodstein. Tất cả các bằng chứng về số học Peano là "tương đối hóa" theo nghĩa là chúng có trong tất cả các mô hình số học Peano. Các định lý Paris của Harrington và Goodstein thất bại trong một số mô hình số học Peano không chuẩn, nhưng chúng không đại diện cho số học thực sự; trong số học thực sự các định lý giữ. Vấn đề là ở số học Peano chứ không phải với chính các câu lệnh: có một số tính chất của các số tự nhiên mà nó không mô tả, cho phép các mô hình không chuẩn này leo vào. Gotdel cho thấy vấn đề này xảy ra trong tất cả các mô hình bậc nhất số học.

Bây giờ chúng tôi có thể giải quyết các câu hỏi của bạn:

Tại sao một bằng chứng không tương đối hóa IP = PSPACE được ưa thích hơn các phân tách orory của hai lớp giống nhau? Chúng tôi chỉ quan tâm đến câu hỏi IP = PSPACE? trong thế giới "thật". Không có vấn đề gì xảy ra trong thế giới tương đối hóa. Vì có tồn tại các phép lạ tách IP và PSPACE, bằng chứng về IP = PSPACE phải không tương đối. Tình huống này tương tự như trường hợp liên quan đến các định lý Paris của Harrington và Goodstein.
Một vấn đề khác là có lẽ không rõ làm thế nào để xác định các phiên bản tương đối hóa của các lớp này. Điều này ngăn cản việc trình bày kết quả tương đối hóa ngay cả khi là bằng chứng.
P = NP giữ đối với một số lời sấm truyền và không giữ được đối với người khác; Tại sao chúng ta kết luận rằng các kỹ thuật không tương đối hóa là cần thiết chứ không phải là các nhà tiên tri dẫn đến mâu thuẫn vốn có? Điều này giống như tình huống của ở trên. Định lý này là đúng, nhưng có các giá trị chân lý khác nhau trong các "thế giới tương đối hóa" khác nhau tương ứng với các số nguyên modulo cho các giá trị khác nhau của . Điều này có nghĩa là bằng chứng phải bao gồm một số bước không giữ modulo tất cả . Nó không có nghĩa là làm việc modulo "dẫn đến mâu thuẫn vốn có". $1+1 \neq 0$ $p$ $p$ $1+1 \neq 0$ $p$ $p$
Không phải chúng ta đã thấy một cái gì đó tương tự trong "lý thuyết về các loại" được phát triển trong Princia Mathematica sao? Lý thuyết về các loại được phát triển như một nền tảng nhất quán cho toán học, sau khi Russell phát hiện ra rằng lý thuyết tập hợp ngây thơ không nhất quán (sử dụng nghịch lý của mình). Không có khó khăn cơ bản như vậy đã gặp phải trong lý thuyết phức tạp.
Ý nghĩa của định lý bất toàn của Gôdel là gì? Định lý không hoàn chỉnh làm tăng khả năng P so với NP độc lập với nền tảng hiện tại của toán học. Nhưng điều này được coi là không thể bởi hầu hết các nhà nghiên cứu. Nhiều định lý khó đã được chứng minh trong quá khứ; một số trong số chúng đã được mở trong nhiều thế kỷ (ví dụ định lý cuối cùng của Fermat). Thực tế là một định lý khó là không có lý do để nghĩ rằng nó vượt quá giải pháp.

Điều này để lại một câu hỏi mà bạn chưa từng hỏi: Tại sao chúng ta quan tâm đến kết quả tương đối hóa? Tôi không biết lý do lịch sử. Có thể là những kỹ thuật này là phổ biến trong các ares liên quan được dùng làm nguồn cảm hứng. Ngay từ đầu, mọi người có thể đã dự đoán rằng các kết quả tương đối hóa có nghĩa là kết quả tuyệt đối. Một ví dụ điển hình là giả thuyết nhà tiên tri ngẫu nhiên, nói rằng nếu một tuyên bố lý thuyết phức tạp liên quan đến một nhà tiên tri ngẫu nhiên, thì nó hoàn toàn đúng. Ví dụ, mặc dù P so với NP "không quyết định" đối với một nhà tiên tri độc đoán, Baker, Gill và Solovay đã chỉ ra rằng P NP liên quan đến một nhà tiên tri ngẫu nhiên. Điều đó có nghĩa là P NP? Thực tế là IP = PSPACE bị từ chối $\neq$ $\neq$ giả thuyết này. Kể từ thời điểm đó, rất ít sự chú ý đã được dành cho kết quả tiên tri, và chúng bây giờ khá là không hợp thời. Họ đã trở thành một đối tượng nghiên cứu theo cách riêng của họ, nhưng không có giả vờ nào có liên quan để tách P khỏi NP.

Chú thích:

Các tiên đề thông thường của số học Peano thực sự sử dụng một số hữu hạn các sơ đồ tiên đề . Kết quả của Gôdel giữ được tính tổng quát cao hơn, như Andrej Bauer chỉ ra trong các bình luận chu đáo của mình.
Xem ý kiến của Andrej Bauer cho một ý kiến không đồng tình.

— Yuval Filmus
nguồn

Cảm ơn bạn đã suy nghĩ tốt và trả lời sâu sắc. Tôi vẫn còn nhầm lẫn về sự tương đồng giữa các kết quả số học mô đun hóa và tương đối hóa nhưng tôi đoán nó chỉ giáp với kết thúc triết học: Các định lý xử lý các số tự nhiên giải quyết các vấn đề trong "thực tế Platonic" trong khi tôi cảm thấy rằng TCS nên được liên kết chặt chẽ hơn với các mô hình mà chúng ta thực sự có thể xây dựng trong "thế giới thực" và, đối với tôi, ít nhất, các TM tiên tri rơi ra khỏi vương quốc đó. Tất nhiên ngay cả các TM thông thường chỉ là một mô hình lý thuyết (vì chúng có một cuộn băng vô hạn) vì vậy tôi đoán tôi nên làm quen với nó.

— Ari

Điều chắc chắn nhất không phải là một quan điểm chính thức mà mọi câu hỏi đều có câu trả lời có / không. Đó sẽ là một Platonist hoặc một quan điểm hiện thực . Quan điểm chính thức là tất cả chỉ là một trò chơi trong đó chúng ta đẩy một số biểu tượng xung quanh.

— Andrej Bauer

Hơn nữa, Gôdel không chỉ ra rằng danh sách các tiên đề hữu hạn là không đủ, nhưng bất kỳ tập hợp tiên đề nguyên thủy nào là không đủ. Xét cho cùng, các tiên đề của Peano là vô cùng nhiều bởi vì một trong số chúng là một lược đồ, vì vậy đó là vô số tiên đề ngay tại đó.

— Andrej Bauer

Đó là một sai lầm khi đánh đồng "thế giới thực" với "nền tảng của toán học".

— Andrej Bauer

Sau khi đọc câu trả lời này, tôi nghĩ rằng câu trả lời sẽ được cải thiện hơn nhiều nếu hai đoạn đầu tiên bị xóa. Chúng hầu như không liên quan đến phần còn lại của câu trả lời, và chúng đầy rẫy những sai lầm và không chính xác.

— Andrej Bauer