Giải quyết mối quan hệ tái phát

Tôi muốn chứng minh rằng độ phức tạp thời gian của một thuật toán là đa bội trong quy mô đầu vào.

Mối quan hệ tái phát của thuật toán này là , nơi .$T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$$a\in(0,1)$

Có vẻ như$T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ đối với một số phụ thuộc vào một . Nhưng tôi không thể chứng minh sự bất bình đẳng này. Làm thế nào để giải quyết mối quan hệ tái phát này?$\beta$$a$

Tôi chỉ muốn có được một polylogarithmic trên ràng buộc trong n.

Dự đoán của bạn là sai. Trong thực tế, nó không phải là khó khăn để chứng minh rằng giả sử cho tất cả n > 0 , sau đó T ( n ) = Ω ( log k n ) cho tất cả k . Thật vậy, để giữ được điều này, chúng ta cần có n đủ lớn, chúng ta sẽ có ( 1 + a k ) log k n = log k n + log k n a ≥ $T(n) > 0$$n > 0$$T(n) = \Omega(\log^k n)$ $k$$n$ hoặc k

$$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$$ , nắm giữ càng lâu càng[k$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$, và đặc biệt chonđủ lớn.$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$$n$

Thứ tự tăng trưởng chính xác của gì? Để thử và tìm hiểu, hãy viết S ( n ) = T ( 2 n ) . Sự tái phát bây giờ trở thành S ( n + 1 ) = S ( n ) + S ( a n ) . Đối với n lớn , chúng ta sẽ mong S ( n + 1 ) - S ( n ) rất gần với $T(n)$$S(n) = T(2^n)$

$$S(n+1) = S(n) + S(an).$$ $n$$S(n+1) - S(n)$ , và do đó heuristically chúng tôi hy vọng rằng S thỏa mãn S ' ( n ) = S ( một n ) . Phương trình này có vẻ hơi khó khăn để giải quyết, nhưng một giải pháp gần đúng là S ( n ) = n Θ ( log n ) . Thay trở lại, chúng ta suy ra rằng thứ tự của sự tăng trưởng của T ( n ) nên một cái gì đó giống như ( log n ) Θ ( log log n $S'(n)$$S$$S'(n) = S(an)$$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$$T(n)$$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$.