Thuật toán hiệu quả để tính toán số Fibonacci thứ

Số Fibonacci thứ có thể được tính trong thời gian tuyến tính bằng cách sử dụng lần lặp lại sau:$n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

Các th số Fibonacci cũng có thể được tính như [ φ n / $n$. Tuy nhiên, điều này có vấn đề với các vấn đề làm tròn chonthậm chí tương đối nhỏ. Có lẽ cónhiều cách để giải quyết vấn đề nàynhưng tôi không muốn làm điều đó.$\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$$n$

Có một thuật toán hiệu quả (logarit trong giá trị hoặc tốt hơn) để tính toán số Fibonacci thứ n không dựa vào số học dấu phẩy động? Giả sử rằng các phép toán số nguyên ( + , - , × , / ) có thể được thực hiện trong thời gian không đổi.$n$$n$$+$$-$$\times$$/$

Bạn có thể sử dụng nguồn ma trận và danh tính Trong mô hình tính toán của bạn, đây là thuật toán O ( log n ) nếu bạn sử dụng bình phương lặp lại để thực hiện cấp nguồn.

Bạn có thể đọc bài viết toán học này: Một thuật toán nhanh để tính toán các số Fibonacci lớn (Daisuke Takahashi): PDF .

Đơn giản hơn, tôi đã triển khai một số thuật toán của Fibonacci trong C ++ (không có và có GMP) và Python. Hoàn thành các nguồn trên Bitbucket. Từ trang chính, bạn cũng có thể theo liên kết đến:

• Tài liệu trực tuyến C ++ HTML.
• Một tài liệu toán học nhỏ: số Fibonacci - một số quan hệ để thực hiện các thuật toán tốt

Các công thức hữu ích nhất là:

• $F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
• $F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

Hãy cẩn thận về thuật toán. Bạn không được tính cùng một giá trị nhiều lần. Một thuật toán đệ quy đơn giản (bằng Python):

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

$O(\log n)$

$O(\log_2 n)$

Kiểm tra cuốn sách miễn phí Matters Computational và mã pari / gp.