Sắp xếp như một chương trình tuyến tính

Một số vấn đề đáng ngạc nhiên có sự giảm thiểu khá tự nhiên đối với lập trình tuyến tính (LP). Xem Chương 7 của [1] để biết các ví dụ như luồng mạng, kết hợp lưỡng cực, trò chơi tổng bằng không, đường dẫn ngắn nhất, một hình thức hồi quy tuyến tính và thậm chí đánh giá mạch!

Do việc đánh giá mạch giảm xuống lập trình tuyến tính, nên bất kỳ vấn đề nào trong $P$ đều phải có công thức lập trình tuyến tính. Do đó, chúng tôi có một thuật toán sắp xếp "mới", thông qua việc rút gọn thành một chương trình tuyến tính. Vì vậy, câu hỏi của tôi là

1. Chương trình tuyến tính sẽ sắp xếp một mảng gồm số thực là gì?$n$
2. Thời gian chạy của thuật toán sắp xếp giảm-to-LP và giải quyết là gì?

1. Các thuật toán của S. Dasgupta, C. Papadimitriou và U. Vazirani (2006)

Câu trả lời sau đây về cơ bản tương đương với câu bạn đã biết, nhưng có vẻ hơi "ma thuật" hơn một chút. Mặt khác, nó mang tính kỹ thuật cao hơn, nhưng tôi tin rằng kỹ thuật chung "viết vấn đề của bạn như là một sự tối ưu hóa trên ma trận hoán vị và gọi Birkhoff-von Neumann" là một điều tuyệt vời cần biết.

Đối với hoán vị của { 1 , Trực , n } xác định ma trận hoán vị P σ là ma trận 0-1 sao cho P i j = 1 nếu j = σ ( i ) và P i j = 0 nếu không. Đây đơn giản là ma trận mà permutes tọa độ của một vectơ x theo σ : nếu y = P σ x sau đó y i = x $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$ . Tôi sẽ biểu thịy= P σ xlàσ(x)từ bây giờ.$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

Một nét hơn: a không âm ma trận M là gấp đôi-ngẫu nhiên nếu mỗi người trong các hàng của nó và mỗi một trong các cột số tiền của mình cho 1.$n\times n$$M$

Và một thực tế rất quan trọng trong tối ưu hóa tổ hợp - định lý Birkhoff-von Neumann:

Một ma trận là gấp đôi ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó là sự kết hợp lồi của ma trận hoán vị, tức là nếu và chỉ nếu có tồn tại hoán vị σ 1 , ... , σ k và tập số thực dương alpha 1 , ... , α k mà M = Σ k i = 1 α i P σ i và ∑ α i = 1 .$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

Lưu ý rằng một ma trận ngẫu nhiên kép được xác định bởi các bất đẳng thức

∀ j : n Σ i = 1 M i j = 1 ∀ i , j : M i j ≥

Tất cả các bất đẳng thức được kết hợp với nhau xác định một đa giác và định lý Birkhoff-von Neumann nói rằng các điểm cực trị (đỉnh) của đa giác này đều là ma trận hoán vị. Từ lập trình tuyến tính cơ bản, chúng ta biết điều này ngụ ý rằng bất kỳ chương trình tuyến tính nào có bất đẳng thức trên là các ràng buộc của nó (và không có ràng buộc nào khác) sẽ có ma trận hoán vị là một giải pháp tối ưu.$P$

Vì vậy, được sắp xếp một đầu vào , chúng ta chỉ cần đưa ra một mục tiêu tuyến tính f a ( M ) mà:$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• $f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• $M$
• $P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

Và voila, bạn có một chương trình tuyến tính để sắp xếp. Có vẻ ngớ ngẩn để sắp xếp, nhưng thực tế đây là một phương pháp mạnh mẽ trong tối ưu hóa.