Đây có phải là các bản mẫu hợp lệ để chứng minh cho các ngôn ngữ CF có bổ sung Non-CF không?

Có người hỏi ví dụ về ngôn ngữ không ngữ cảnh với phần bổ sung không ngữ cảnh .

Câu trả lời đầu tiên nói:

Ngôn ngữ $L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ không có ngữ cảnh (như có thể được hiển thị bằng cách sử dụng bổ đề bơm; xem tại đây ). Bổ sung của nó $L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$ là không ngữ cảnh (như được hiển thị ở đây ).

Có thể trong thực tế điều này là đúng, nhưng với những thông tin trên, tôi không tin đây là một ví dụ hợp lệ của một ngôn ngữ như vậy. Tôi đã chứng minh trước đó $L$ không phải là CF, vì vậy tôi không có vấn đề gì khi chấp nhận điều đó. Tuy nhiên, CFG và bằng chứng được đưa ra cho $L_2$ là sai. Tôi có thể đưa ra một ví dụ thực sự đơn giản: khi chuỗi $s=aaabaa$ . Thông suốt $s \in L_2$ bởi vì nó không phải là hình thức $ww$ . Tuy nhiên, $s$ không thể được xây dựng bằng CFG được mô tả cho $L_2$ .

Chứng minh: Chuỗi $s$ không phải là hình thức $A$ hoặc là $B$ vì độ dài của chuỗi là chẵn. Vì vậy, nó phải có hình thức $AB$ hoặc là $BA$ , nhưng điều này là không thể vì cả hai nửa chuỗi có cùng ký tự ( $a$ ) ở Trung tâm. vì thế $s \notin L_2$ , đó là một mâu thuẫn.

Câu trả lời thứ hai nói:

Ví dụ bạn thấy trên Wikipedia: đặt $A=\{a^n b^n c^m\}$ , $B=\{a^m b^n c^n\}$ . Dễ thấy $\overline{A}$ và $\overline{B}$ không có ngữ cảnh bằng cách xác định một thiết bị PDA; bạn có thể lưu ý rằng chúng là các ngôn ngữ không có ngữ cảnh xác định, là một lớp đóng dưới sự bổ sung. vì thế $\overline{A} \cup \overline{B}$ là một ngôn ngữ không ngữ cảnh với phần bổ sung không ngữ cảnh $A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$ .

Điều này thậm chí còn dễ dàng hơn để từ chối. Chắc chắn, các ngôn ngữ không có ngữ cảnh xác định được đóng dưới sự bổ sung, nhưng chúng không bị đóng dưới sự kết hợp. Do đó, ngôn ngữ $\overline{A} \cup \overline{B}$ không nhất thiết là bối cảnh miễn phí.

Hiện tại tôi vẫn đang theo học Lý thuyết tính toán, vì vậy có lẽ tôi đã hiểu sai hoặc bỏ qua một số sự thật hiển nhiên. Bất cứ ai có thể từ chối yêu cầu của tôi? Nếu không, bạn có thể cung cấp một ví dụ hợp lệ về ngôn ngữ CF với phần bổ sung không phải CF không?

formal-languages context-free formal-grammars

— năng lượng mặt trời
nguồn

Đối với câu hỏi đầu tiên, $aaabaa$ được tạo bởi ngữ pháp:

\begin{aligned} S & \to Một B \\ \to một B & sử dụng Một \to một \\ \to một một B một & sử dụng B \to một B một \\ \to một một một B một một & sử dụng B \to một B một \\ \to một một một b một một & sử dụng B \to b . \end{aligned}

$\begin{align*} S&\to AB \\ &\to aB &&\text{using }A\to a\\ &\to aaBa &&\text{using }B\to aBa\\ &\to aaaBaa &&\text{using }B\to aBa\\ &\to aaabaa &&\text{using }B\to b\,. \end{align*}$ Nỗ lực của bạn để chứng minh điều ngược lại là không chính xác bởi vì bạn cho rằng, khi chuỗi được phân chia thành

A B

$AB$ , phần được tạo bởi

A

$A$ phải có cùng độ dài với phần được tạo bởi

B

$B$ . Như đạo hàm trên cho thấy, điều này không đúng.

Lần thứ hai, bạn đúng rằng lớp CFL xác định không bị đóng dưới liên minh. Tuy nhiên, lớp CFL bị đóng dưới sự kết hợp. Nghĩa là, sự kết hợp của hai DCFL không nhất thiết là DCFL nhưng nó chắc chắn là CFL. Đối số " $\overline{A}$ và $\overline{B}$ không có ngữ cảnh xác định, vì vậy chúng không có ngữ cảnh, vì vậy $\overline{A}\cup\overline{B}$ không có ngữ cảnh "được ẩn trong bằng chứng bạn trích dẫn.

— David Richerby
nguồn