Bằng chứng Big-O cho một mối quan hệ tái phát?

Câu hỏi này khá cụ thể theo cách các bước được thực hiện để giải quyết vấn đề.

Cho chứng minh rằng . $T(n)=2T(2n/3)+O(n)$ $T(n)=O(n^2)$

Vì vậy, các bước như sau. Chúng tôi muốn chứng minh rằng $T(n) \le cn^2$ .

\begin{aligned} T (n) & = 2 T (2 n / 3) + O (n) \\ \leq 2 c (2 n / 3)^{2} + a n \\ \leq (8 / 9) (c n^{2}) + a n \end{aligned}

$\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*}$ và sau đó prof của tôi tiếp tục làm:

T (n) \leq c n^{2} + (một n - (1 / 9) c n^{2}),

$T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,,$ đi ra:

T (n) \leq c n^{2} bất cứ gì c > = 9 một .

$T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,.$

Câu hỏi của tôi là, làm thế nào họ có thể chuyển từ 8/9 sang 1/9 trong khi giới thiệu một thuật ngữ mới? Điều này có được phép không? Cô không bao giờ giải thích, đây chỉ là trong giải pháp của cô.

asymptotics recurrence-relation

— D. Johnson
nguồn

Tôi không thấy một thuật ngữ mới được giới thiệu? Chúng ta có đơn giản hóa thành như trong dòng trước. Vì vậy, hai dòng thực sự bằng nhau. Có lẽ bạn đang hỏi tại sao người ta có thể muốn làm điều này?

c n^{2} + a n - (1 / 9) c n^{2}

$cn^2 +an - (1/9)cn^2$

(8 / 9) c n^{2} + a n

$(8/9)cn^2 + an$

— dùng340082710

Tôi cũng giả sử dòng cuối cùng nên đọc trái ngược với .

c n^{2}

$cn^2$

c k^{2}

$ck^2$

— dùng340082710

@ZacharyFrenette À bạn nói đúng. trong trường hợp đó, tôi không chắc cô ấy đã làm thế nào để đơn giản hóa. Tại sao người ta lại chọn cách tách các điều khoản theo cách đó? có nhiều cách để chia (8/9). Tôi nghĩ rằng biết tại sao người ta sẽ muốn làm điều này, để hủy bỏ ra rằng thêm ? Nếu không thì bất bình đẳng sẽ không giữ được. Cũng cảm ơn vì đã chỉ ra lỗi đánh máy, sẽ sửa chữa. nếu bạn muốn bình luận như một câu trả lời, tôi có thể chấp nhận nó.

a n

$an$

— D. Johnson

Như bạn chỉ ra, lý do của việc chia tách thuật ngữ thành hai mảnh là để có thể hủy bỏ hạn. Nếu chúng ta đi trực tiếp từ , sau đó chúng tôi gặp khó khăn vì chúng tôi không thể làm bất cứ điều gì với hạn. Bằng cách tách nó theo cách mô tả, điều này cho phép là lớn hơn khi $an$ $(8/9)cn^2 + an \leq cn^2 + an$ $an$ $(1/9)cn^2$ $an$ $c \geq 9a$ , Sau đó cung cấp cho bạn kết quả mong muốn từ cho các giá trị như vậy . $an - (1/9)cn^2 \leq 0$ $c$

— người dùng340082710
nguồn