Cách tìm đường đi ngắn nhất từ ​​một số đỉnh trong tập hợp

Nếu tôi có một biểu đồ $G=(V,E)$, một tập hợp con của đỉnh $S \subset V$ và một đỉnh thứ hai $S' \subset (V\setminus S)$, cách tốt nhất để tìm con đường ngắn nhất kết nối hai bộ là gì? Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một con đường ngắn nhất trong số tất cả$S$-$S'$đường dẫn. Chúng tôi cũng có thể giả định tất cả các trọng số cạnh là tích cực.

Đây là cách tôi đã tiếp cận vấn đề này cho đến nay:

Tôi đã có thông tin ma trận khoảng cách $(d)$ cho đồ thị $G$được tính toán bằng cách áp dụng thuật toán Floyd-Warshall trong một hoạt động trước đó.

Sau đó tôi lặp đi lặp lại trên tất cả các đỉnh trong $S$ cho mỗi đỉnh trong $S'$ và tìm cặp $(s_1,s_2)$ với giá trị nhỏ nhất trong ma trận $d$.

Thuật toán của Dijkstra sau đó được sử dụng để tính toán con đường ngắn nhất giữa $s_1$ và $s_2$, do đó, kết nối bộ đỉnh $S$ và $S'$.

Có cách nào hiệu quả hơn để đạt được kết quả tương tự này không?

Nếu tất cả các độ dài cạnh là không âm, thì điều này có thể được giải quyết trong $O(|E| \lg |V|)$ thời gian sử dụng một lời gọi duy nhất của thuật toán Dijkstra.

Chúng tôi sẽ sửa đổi biểu đồ một chút bằng cách thêm một đỉnh mới $s$. Ngoài ra, thêm một cạnh có độ dài 0 từ$s$ đến từng đỉnh trong $S$.

Tiếp theo, chạy thuật toán của Dijkstra, bắt đầu từ đỉnh nguồn $s$. Thuật toán của Dijkstra sẽ tính toán cho bạn khoảng cách từ$s$ đến mọi đỉnh khác $v$, tức là nó sẽ tính toán $d(s,v)$ cho tất cả $v \in V$. Lưu ý rằng$d(s,v)$ sẽ chính xác là chiều dài của con đường ngắn nhất từ ​​một số đỉnh trong $S$ đến đỉnh $v$.

Cuối cùng, tính toán $\min \{ d(s,v) : v \in S' \}$. Đây sẽ là chiều dài của con đường ngắn nhất từ ​​một số đỉnh trong đến một số đỉnh trong . Đó là câu trả lời của bạn.$S$$S'$

Không cần phải chạy Floyd-Warshall.

Nếu bạn có thể có các cạnh âm, thì nó có thể được thực hiện trong thời gian . Chỉ cần thay thế thuật toán của Dijkstra bằng thuật toán Bellman-Ford.$O(|V| \cdot |E|)$