Giải T (n) = 2T (n / 2) + log n bằng phương pháp cây lặp lại

Tôi đã giải quyết quan hệ tái phát. Mối quan hệ tái phát đầu tiên là

$T(n)=2T(n/2)+n$

Giải pháp của phương pháp này có thể được tìm thấy bằng Định lý Master hoặc phương pháp cây tái phát. Cây tái phát sẽ là một cái gì đó như thế này:

Giải pháp sẽ là:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Tiếp theo tôi phải đối mặt với vấn đề sau:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Cuốn sách của tôi cho thấy rằng bằng cách định lý tổng thể hoặc thậm chí bằng một số cách tiếp cận thay thế, tái phát này có các giải pháp . Nó có cấu trúc giống như cây ở trên với sự khác biệt duy nhất là tại mỗi cuộc gọi, nó thực hiện công việc log n . Tuy nhiên tôi không thể sử dụng cách tiếp cận tương tự ở trên cho vấn đề này.$\Theta(n)$$\log{n}$

Thuật ngữ không đệ quy của mối quan hệ lặp lại là công việc để hợp nhất các giải pháp của các bài toán con. Cấp độ của cây tái phát (nhị phân) của bạn chứa 2 k biểu tượng con với kích thước $k$$2^k$ , vì vậy ban đầu bạn cần tìm tổng công việc ở cấp độkvà sau đó tóm tắt công việc này trên tất cả các cấp độ cây.$\frac {n}{2^k}$$k$

$C$$k$$2^k \cdot C$$T(n)$

$$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$$

Tuy nhiên, nếu công việc tăng theo logarit với quy mô vấn đề, bạn sẽ cần tính toán chính xác giải pháp. Loạt bài sẽ như sau:

$$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$$

Đó sẽ là một khoản tiền khá phức tạp:

$$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$$

$m=\log_2{n}$

$$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$$

$\sum_{k=1}^{m}k2^k$$m$$\log_2{n}$

$$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$$ $$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$$

QED