Mối quan hệ lặp lại cho độ phức tạp thời gian

Tôi đang tìm một xấp xỉ của $\Theta$

$$T(n) = T(n-1) + cn^{2}$$

Đây là những gì tôi có cho đến nay:

$$\begin{align*} T(n-1)& = T(n-2) + c(n-1)^2\\ T(n) &= T(n-2) + c(n-1) + cn^2\\[1ex] T(n-2) &= T(n-3) + c(n-2)^2\\ T(n) & = T(n-3) + c(n-2)^2 + c(n-1)^2 + cn^2 \\[1ex] T(n-3) &= T(n-4) + c(n-3)^2 \\ T(n) &= T(n-4) + c(n-3)^2 + c(n-2)^2 + c(n-1)^2 + cn^2 \end{align*}$$

Vì vậy, tại thời điểm này tôi sẽ khái quát hóa và thay thế vào phương trình.$k$

$$T(n)= T(n-k) + (n-(k-1))^2 + c(k-1)^2$$

Bây giờ, tôi bắt đầu đưa trường hợp cơ sở của 1 vào hình ảnh. Trong một vài vấn đề trước đây, đơn giản hơn, tôi có thể đặt phương trình k tổng quát của mình bằng 1 và sau đó giải cho . Sau đó đưa trở lại phương trình để có câu trả lời cuối cùng của tôi.$k$$k$

Nhưng tôi hoàn toàn bị mắc kẹt trong phần . Ý tôi là, tôi thực sự nên loại bỏ tất cả những thứ này? Tôi đã làm điều đó và nhận được . Tại thời điểm này tôi nghĩ rằng tôi hoàn toàn phải làm điều gì đó sai vì tôi chưa bao giờ thấy điều này trong các vấn đề trước đây.$(n-k+1)^2$$k^2-2kn-2k+n^2 +2n +1 = 1$

Bất cứ ai có thể cung cấp cho tôi một số trợ giúp với cách giải quyết này? Tôi sẽ đánh giá cao về nó. Tôi cũng đã thử một cách tiếp cận khác trong đó tôi đã cố gắng đặt từ phần cuối của phương trình và nhận được . Tôi cắm n trở lại phương trình cho đến cuối và cuối cùng nhận được như một câu trả lời. Tôi không có manh mối nếu điều này đúng hay không.$n-k = 0$$k = n$$n^2$

Tôi đang ở trong một lớp phân tích thuật toán và chúng tôi bắt đầu thực hiện các mối quan hệ lặp lại và tôi không chắc chắn 100% nếu tôi làm đúng vấn đề này. Tôi đến một điểm mà tôi chỉ bị mắc kẹt và không biết phải làm gì. Có lẽ tôi đang làm điều này sai, ai biết được. Câu hỏi không quan tâm đến giới hạn trên hoặc dưới, nó chỉ muốn một theta.

Chỉ cần tiếp tục lý luận của bạn như sau.

$$\begin{eqnarray} T(n) &=& T(n-1) + cn^2 \\ &=& T(n-2) + c(n-1)^2 + cn^2 \\ &=& \ldots \\ &=& T(n-n) + c(1^2) + c(2^2) + \ldots cn^2 \\ &=& T(0) +c\sum_{1\leq i\leq n} i^2. \end{eqnarray}$$

Bạn có biết làm thế nào để đơn giản hóa việc này bằng cách sử dụng công thức bổ sung cho hình vuông đầu tiên ? $n$

Tổng quát hơn, bất kỳ mối quan hệ tái phát của mẫu $T(n) = T(n-1) + f(n)$ có giải pháp $T(n) = \sum_{i=0}^n f(i)$.

đôi khi các công thức rất khó nhớ, tích hợp có thể có ích -

$$\sum_{i=1}^n i^2 \approx \int_1^n i^2 di = \frac{1}{3}i^3 \bigg]_1^n = \frac{1}{3}(n^3 - 1) \leq cn^3 = O(n^3)$$