Giải quyết mối quan hệ lặp lại với n làm tham số

Xem xét sự tái phát

$\qquad\displaystyle T(n) = \sqrt{n} \cdot T\bigl(\sqrt{n}\bigr) + c\,n$

cho với một số hằng số dương và .$n \gt 2$$c$$T(2) = 1$

Tôi biết định lý Master để giải quyết các đợt tái phát, nhưng tôi không chắc chắn về cách chúng ta có thể giải quyết mối quan hệ này bằng cách sử dụng nó. Làm thế nào để bạn tiếp cận tham số căn bậc hai?

Chúng tôi sẽ sử dụng đề xuất của Raphael và mở ra sự tái diễn. Sau đây, tất cả các logarit là cơ sở 2. Chúng tôi nhận được

nơiβ(n)là bao nhiêu lần bạn phải lấy căn bậc hai để bắt đầu với n, và đạt được 2. Nó chỉ ra rằngβ(n)=loglogn. Làm thế nào bạn có thể thấy điều đó? Xem xét:

$$\begin{align*} T(n) &= n^{1/2} T(n^{1/2}) + cn \\ &= n^{3/4} T(n^{1/4}) + n^{1/2} c n^{1/2} + cn\\ &= n^{7/8} T(n^{1/8}) + n^{3/4} c n^{1/4} + 2cn\\ &= n^{15/16} T(n^{1/16}) + n^{7/8} c n^{1/8} + 3cn \\ & \ldots \\ &= \frac{n}{2} T(2) + c n \beta(n) \end{align*}.$$ $\beta(n)$$\beta(n) = \log \log n$ Vì vậy, số lần bạn cần phải thực hiện các căn bậc hai để đạt được 2 là giải pháp cho $$\begin{align*} n &= 2^{\log n}\\ n^{1/2} &= 2^{\frac{1}{2} \log n} \\ n^{1/4} &= 2^{\frac{1}{4} \log n} \\ \ldots \end{align*}$$ , đó làloglogn. Vì vậy, giải pháp cho đệ quy làcnloglogn+$\frac{1}{2^t} \log n \approx 1$$\log \log n$. Để làm cho điều này hoàn toàn nghiêm ngặt, chúng ta nên sử dụng phương pháp thay thế và rất cẩn thận về cách mọi thứ được làm tròn. Khi tôi có thời gian, tôi sẽ cố gắng thêm phép tính này vào câu trả lời của mình.$c n \log \log n + \frac{1}{2}n$

Trong bình luận của bạn, bạn đã đề cập rằng bạn đã cố gắng thay thế nhưng bị mắc kẹt. Đây là một dẫn xuất hoạt động. Động lực là chúng ta muốn thoát khỏi những nhân ở phía bên tay phải, để lại cho chúng ta một cái gì đó trông giống nhưU(n)=U($\sqrt{n}$. Trong trường hợp này, mọi thứ diễn ra rất độc đáo:$U(n) = U(\sqrt{n}) + something$

Bây giờ hãy điều đơn giản hóa việc thậm chí còn hơn nữa, bằng cách thay đổi các bản ghi (kể từlg

$$\begin{align} T(n) &= \sqrt{n}\ T(\sqrt{n}) + n & \text{so, dividing by $n$ we get}\\ \frac{T(n)}{n} &= \frac{T(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} + 1 &\text{and letting $n = 2^m$ we have}\\ \frac{T(2^m)}{2^m} &= \frac{T(2^{m/2})}{2^{m/2}} + 1 \end{align}$$ ). Đặt S ( m $\lg \sqrt{n} = (1/2)\lg{n}$ Aha! Đây là một sự tái diễn nổi tiếng với giải pháp S(m)=Θ(lgm) Quay trở lại vớiT $$\begin{align} S(m) &= \frac{T(2^m)}{2^m} & \text{so our original recurrence becomes}\\ S(m) &= S(m/2)+1 \end{align}$$ $$S(m)=\Theta(\lg m)$$ , sau đó chúng ta có, với n = 2 m (và vì vậy m = lg n ), T ( n $T(\,)$$n=2^m$$m=\lg n$ Vậy T ( n ) = Θ ( $$\frac{T(n)}{n} = \Theta(\lg\,\lg n)$$ .$T(n) =\Theta(n\,\lg\,\lg n)$

Nếu bạn viết bạn có T ( m ) = $m=\log n \space$.$T(m) = {m \over 2}\cdot T({m\over 2}) + c\cdot 2^m\space$

Bây giờ bạn biết cây đệ quy có cao của trật tự , và một lần nữa nó không khó để nhìn thấy nó của O ( 2 m ) ở mỗi cấp, vì vậy tổng thời gian chạy là: O ( ( log m ) ⋅ 2 m ) , trong đó kết luận O ( n ⋅ log log n ) cho n .$O(\log m)$$O(2^m)\space$$O((\log m) \cdot 2^m)\space$$O(n \cdot \log \log n)\space$$n$

Trong tất cả khi bạn nhìn thấy hoặcn$\sqrt n$, là tốt để kiểm tra logarit.$n^{a \over b}, a<b \space$

_{PS: Chắc chắn bằng chứng nên bao gồm nhiều chi tiết hơn bằng cách tôi bỏ qua chúng.}

Hãy làm theo đề xuất của Raphael, với : T ( n ) = T ( 2 2 k$n = 2^{2^k}$

$$\begin{align*} T(n) = T(2^{2^k}) &= 2^{2^{k-1}} T(2^{2^{k-1}}) + c2^{2^k} \\ &= 2^{2^{k-1}+2^{k-2}} T(2^{2^{k-2}}) + c(2^{2^k} + 2^{2^k}) \\ &= \cdots \\ &= 2^{2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots+2^0} T(2^{2^0}) + c(2^{2^k} + 2^{2^k} + \cdots + 2^{2^k}) \\ &= 2^{2^k-1} + ck2^{2^k} \\ &= (c\log\log n + 1/2)n. \end{align*}$$

Chỉnh sửa: Cảm ơn Peter Shor đã sửa chữa!

$$\begin{align} T(n) &=& \sqrt{n}~ T(\sqrt{n}) + n \\ &=& n^{1/2} \big ( n^{1/4} ~ T(n^{1/4}) + n^{1/2}\big) + n \\ &=& n^{1-1/4}~ T(n^{1/4}) + 2n. \end{align}$$

$k$

$$\begin{align} \label{eqn:unrav} T(n) &=& n^{1-1/2^k} T(n^{1/2^k}) + kn. \end{align}$$

$n^{1/2^k} = 2$$k$

$$\begin{align} &&n^{1/2^k} = 2 \\ &\implies& \log n= 2^k \\ &\implies& k= \log \log n. \label{eqn:ksol} \end{align}$$

$k=\log \log n$

$$\begin{align} T(n) = \frac{n}{2} T(2) + n \log \log n. \end{align}$$