Có một vấn đề NP-đầy đủ, sao cho phiên bản quyết định của vấn đề đếm của nó không hoàn thành PP?

Khi chúng tôi sửa một trình xác minh xác định thời gian đa thức V (đầu vào, chứng chỉ), vấn đề NP tương ứng của nó là câu hỏi: Đối với đầu vào này, chứng chỉ (kích thước đa thức) có tồn tại sao cho V (đầu vào, chứng chỉ) trả về Đúng không?

Vấn đề đếm liên quan (lớp #P) là: Có bao nhiêu chứng chỉ tồn tại sao cho V (đầu vào, chứng chỉ) trả về True?

#P không phải là lớp "vấn đề quyết định", mà là lớp đếm vấn đề. Lớp "vấn đề quyết định" truyền thống gần nhất là PP, có vấn đề về hình thức: Phần lớn các chứng chỉ có dẫn đến V (đầu vào, chứng chỉ) trả về True không?

Tôi quan tâm đến phiên bản quyết định của vấn đề đếm liên quan đến một vấn đề + trình xác minh NP hoàn chỉnh nhất định, đó là: Cho trường hợp đầu vào và số nguyên dương K: Có ít nhất K chứng chỉ khác nhau như V (đầu vào, Giấy chứng nhận) trả về Đúng?

Vấn đề quyết định này rõ ràng tương đương với phiên bản đếm (thông qua Tìm kiếm nhị phân). Nếu tôi không nhầm, lớp của tất cả các "phiên bản quyết định của các vấn đề đếm liên quan đến các vấn đề NP" này hoàn toàn khó như PP kể từ:

1) Bất kỳ vấn đề "quyết định đếm" nào trong số này có thể được coi là một số vấn đề đa số khác, bằng cách chọn một định nghĩa xác minh đặc biệt trong đó rất nhiều chứng chỉ được coi là Đúng hoặc Sai sao cho có ít nhất K Chứng chỉ đúng trong bản gốc khi và chỉ khi phần lớn là True trong bài toán kết quả. Chỉ là một ví dụ đơn giản để minh họa ý tưởng rút gọn, nếu có 8 chứng chỉ có thể và chúng tôi muốn biết liệu có ít nhất 3 chứng thực hay không, chúng tôi có thể đề xuất một trình xác minh khác có 11 chứng chỉ khả thi: đối với 8 chứng chỉ gốc kiểm tra bình thường và đối với ba phần còn lại, nó ngay lập tức trả về True mà không cần nhìn vào đầu vào. Vì phần lớn của 11 là 6, trình xác minh mới này chấp nhận phần lớn các chứng chỉ chính xác nếu bản gốc chấp nhận ít nhất 3.

Vì vậy, tất cả những vấn đề này là trong PP.

2) Phiên bản "quyết định đếm" tương ứng cho bất kỳ vấn đề hoàn thành PP nào rõ ràng sẽ là PP-hard, vì việc giải quyết vấn đề đa số ban đầu chỉ đơn giản là giải quyết Vấn đề 2 ⌋+1). Do đó, các vấn đề như vậy là hoàn thành PP.$(input, \left \lfloor \frac{ totalCertificates}{2} \right \rfloor + 1)$

Vì vậy, bây giờ, cuối cùng, tôi có thể nói rõ câu hỏi của mình, đó là "phiên bản phức tạp hơn" của cùng một ý tưởng được thể hiện trong các biến thể NP hoàn chỉnh của MAX, MAJ :

Có bất kỳ vấn đề NP-đầy đủ sao cho phiên bản quyết định của vấn đề đếm của nó (trong PP) không hoàn thành PP không?

Ví dụ: trong trường hợp Tổng tập hợp, vấn đề quyết định liên quan mà tôi quan tâm sẽ là: Có ít nhất K tập hợp con không có tổng bằng không?

Vì K là miễn phí và không giới hạn ở gần một nửa số chứng chỉ, nên đối số của câu trả lời khác không được áp dụng.

Đặt câu hỏi của bạn theo các thuật ngữ chính xác hơn, bạn hỏi liệu yêu cầu sau có đúng không:

$* \hspace{1mm} R(x,y) \text{ is an NP-complete relation}\Rightarrow count_R \text{ is PP-complete}$

$count_R$

$count_R=\left\{(x,k) \big| \hspace{1mm} \left\lvert\left\{y : R(x,y)\right\}\right\rvert\ge k\right\}$

$R(x,y)$$L_R=\left\{x | \exists y \hspace{1mm} R(x,y)=1\right\}$

Chúng tôi nói về các mối quan hệ, vì như bạn đã đề cập, phiên bản đếm phải được xác định liên quan đến một số xác minh cụ thể.

Có vẻ như đây là một câu hỏi mở, vì (*) ngụ ý:

$** \hspace{1mm} R(x,y) \text{ is an NP-complete relation}\Rightarrow \#R\text{ is #P-complete}$

$\#R(x)=\left\lvert \left\{y : R(x,y)\right\} \right\rvert$

$R(x,y)$$count_R$$count_{\text{SAT}}\le_p count_R$$\#SAT\in\mathsf{FP}^{\# R}$$\#R$$\# P$$count_{\text{SAT}}$$count_R$$\#R$

Theo hiểu biết của tôi, (**) hiện đang mở. Xem câu hỏi liên quan này từ cstheory. Cũng liên quan .