Là đóng gói một túi quà cho Rupert dễ dàng hơn Santa?

^{Hoặc: Chúng ta có cần Rupert để nhận quà không?}

Đặt vấn đề sang một bên, ông già Noel phải đối mặt với vấn đề sau (nhiều, nhiều lần):

Với một chiếc túi với capacity¹ $C$ và một bộ quà $\{p_1, \dots, p_n\}$ , mỗi kích thước , ông muốn làm cho trẻ em hạnh phúc. Anh ta biết từ tất cả các danh sách mong muốn mà các giá trị con hiện diện chính xác nhiều. $s_i$ $\{c_1, \dots, c_k\}$ $c_j$ $p_i$ $v_{i,j} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}$

Bộ quà tặng nào (tách rời nhau) mà chọn cho mỗi đứa trẻ để mọi thứ phù hợp, nghĩa là $I_j \subseteq [1..n]$

$\qquad\displaystyle \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} s_i \leq C$ ,

và càng nhiều hạnh phúc càng tốt xảy ra², tức là

$\qquad\displaystyle \max! \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} v_{i,j}$ ?

Điều này rõ ràng không dễ hơn Bin Đóng gói hoặc Knapsack, vì vậy ông già Noel tội nghiệp có thể phải mất một thời gian dài để đóng gói túi.

Bây giờ, như chúng ta đã biết, trợ lý Rupert của anh ta không đưa ra như vô điều kiện. Anh ta có kiến thức về $V_j$ , giá trị tối đa con $c_j$ có thể nhận được dựa trên hành vi trong năm; đó là, anh ta thêm một ràng buộc bổ sung

$\qquad\displaystyle \forall j \in [1..k].\ \sum_{i \in I_j} v_{i,j} \leq V_j$ .

Điều đó làm cho vấn đề đóng gói túi dễ dàng hơn? Nếu không luôn thì trong điều kiện nào?

Nếu đường kính c hney là yếu tố giới hạn, một khung tương tự có thể được thiết lập.
Chúng ta đừng quan tâm đến sự công bằng và những ý tưởng lố bịch khác.
Do đó, chỉ có một Giáng sinh mỗi năm. QED

— Raphael
nguồn

Mọi người muốn tặng cho người dùng đồng nghiệp, hãy thêm tiền thưởng một lần! Câu trả lời đúng và dễ hiểu, người cũng gợi lên tinh thần của ngày lễ nhiều nhất sẽ đủ điều kiện!

— Raphael

Các câu hỏi Giáng sinh cũ hơn của tôi về định tuyến Santa và ốp lát cookie đều ít nhất là mở một phần, quá!

— Raphael

Bah! ... Ôm!

— Rick Decker

Một vài ý kiến tầm thường: vấn đề không phải lúc nào cũng dễ dàng hơn (chỉ cần chọn ) nhưng có ít nhất một trường hợp trong đó (đặt tất cả ngoại trừ , được đặt thành ).

V_{j} \geq \sum_{i \in I_{j}} v_{i, j}

$V_j \ge \sum_{i\in I_j} v_{i,j}$

V_{j} = 0

$V_j=0$

V_{1}

$V_1$

min_{i} v_{i, 1}

$\min_i v_{i,1}$

— Manlio

Sau khi nhanh chóng xem xét câu hỏi này, tôi tin rằng kiến thức bổ sung của Rupert về mỗi hành vi của {trẻ em, giá trị tối đa hiện tại} sẽ không luôn giúp công việc của ông già Noel dễ dàng hơn. Ông già Noel sẽ vẫn cần thực hiện một chiếc ba lô 0/1 để lấp đầy túi và thuật toán Hungary cũng như để tối đa hóa niềm hạnh phúc mà mỗi đứa trẻ tư bản nhận được vào sáng Giáng sinh. Một trường hợp đơn giản sẽ khiến công việc của ông già Noel trở nên khá đơn giản là nếu mọi đứa trẻ ở Santa đang xem xét không xuất bản một bài báo và thay vào đó chơi trò chơi điện tử cả năm đã nhận được số 0 từ Rupert (mỗi đứa trẻ sẽ nhận được than).

— Logan Leland
nguồn