Thuật toán Bellman-Ford - Tại sao các cạnh có thể được cập nhật không theo thứ tự?

Các thuật toán Bellman-Ford xác định con đường đi ngắn nhất từ một nguồn đến tất cả các đỉnh khác. Ban đầu khoảng cách giữa s và tất cả các đỉnh khác được thiết lập để ∞ . Sau đó, con đường ngắn nhất từ s đến mỗi đỉnh được tính toán; điều này diễn ra cho | V | - 1 lần lặp. Câu hỏi của tôi là:$s$$s$$\infty$$s$$|V|-1$

• Tại sao cần phải có lần lặp?$|V|-1$
• Sẽ có vấn đề gì nếu tôi kiểm tra các cạnh theo thứ tự khác?
  Nói, nếu lần đầu tiên tôi kiểm tra các cạnh 1,2,3, nhưng sau đó ở lần lặp thứ hai, tôi kiểm tra 2,3,1.

Giáo sư MIT Eric cho biết thứ tự không thành vấn đề, nhưng điều này làm tôi bối rối: thuật toán sẽ không cập nhật sai một nút dựa trên cạnh nếu giá trị của nó phụ thuộc vào cạnh x 1 nhưng x 1 được cập nhật sau x 2 ?$x_2$$x_1$$x_1$$x_2$

Hãy xem xét con đường đi ngắn nhất từ đến t , s , v 1 , v 2 , ... , v k , t . Con đường này bao gồm nhiều nhất | V | - 1 cạnh, bởi vì lặp lại một đỉnh trong một con đường ngắn nhất luôn là một ý tưởng tồi (hoặc ít nhất là có một con đường ngắn nhất không lặp lại các đỉnh), nếu chúng ta không có chu kỳ trọng lượng âm.$s$$t$$s, v_1, v_2, \dots, v_k, t$$|V|-1$

Trong vòng một, chúng ta biết rằng các cạnh sẽ được nới lỏng, do đó, ước tính khoảng cách cho v 1 sẽ chính xác sau vòng này. Lưu ý rằng chúng tôi không biết v 1 là gì vào thời điểm này, nhưng vì chúng tôi đã thư giãn tất cả các cạnh, chúng tôi cũng phải thư giãn cái này. Ở vòng hai, chúng tôi thư giãn ( v 1 , v 2 ) tại một số điểm. Chúng tôi vẫn không biết v 1 hoặc v 2 là gì, nhưng chúng tôi biết ước tính khoảng cách của họ là chính xác.$(s, v_1)$$v_1$$v_1$$(v_1, v_2)$$v_1$$v_2$

Lặp lại điều này, sau một số vòng , chúng ta đã thư giãn ( v k , t ) , sau đó ước tính khoảng cách cho t là chính xác. Chúng tôi không biết k là gì cho đến khi toàn bộ thuật toán kết thúc, nhưng chúng tôi biết rằng nó sẽ xảy ra tại một số điểm (giả sử không có chu kỳ trọng lượng âm).$k+1$$(v_k, t)$$t$$k$

Vì vậy, quan sát quan trọng là sau vòng , nút thứ i của đường dẫn ngắn nhất phải có ước tính khoảng cách được đặt thành giá trị chính xác. Vì đường dẫn nhiều nhất | V | - 1 cạnh dài, | V | - 1 vòng đủ để tìm con đường ngắn nhất này. Nếu một | V | Vòng thứ hai vẫn thay đổi một cái gì đó, sau đó một cái gì đó kỳ lạ đang diễn ra: tất cả các đường dẫn đã được 'giải quyết' đến các giá trị cuối cùng của chúng, vì vậy chúng ta phải có tình huống tồn tại một số chu kỳ trọng lượng âm.$i$$i$$|V|-1$$|V|-1$$|V|$

Con đường dài nhất có thể không có bất kỳ chu kỳ nào |V|. Chúng tôi bắt đầu với một nguồn, vì vậy chúng tôi đã có đường dẫn có độ dài 1, vì vậy chúng tôi cần |V| - 1nhiều nút hơn để có đường dẫn dài nhất.

Thứ tự không quan trọng bởi vì mọi đơn hàng sẽ duy trì bất biến: sau các nlần lặp, giá trị cho mỗi nút nhỏ hơn hoặc bằng chi phí của đường dẫn chi phí tối thiểu từ sđến nút chứa ở hầu hết ncác cạnh.

Nếu, khi bắt đầu một lần lặp, chi phí là chính xác cho ncác nút, thì khi kết thúc việc lặp lại, nó đúng với n+1các nút. Việc sắp xếp lại có thể khiến một số nút có chi phí thấp hơn trước khi chúng thường được cập nhật, nhưng cuối cùng chúng sẽ được cập nhật.