Reccurence

Lưu ý: đây là từ ghi chú Thuật toán của JeffE trên Recurrences, trang 5.

(1). Vì vậy, chúng ta định nghĩa sự tái $T(n) = \sqrt{n}T(\sqrt{n})+n$mà không có trường hợp cơ sở. Bây giờ tôi hiểu rằng đối với hầu hết các đợt tái phát, vì chúng tôi đang tìm kiếm các giới hạn tiệm cận, trường hợp cơ sở sẽ không thành vấn đề. Nhưng trong trường hợp này, tôi thậm chí không thấy nơi chúng ta có thể định nghĩa trường hợp cơ sở. Có bất kỳ số nào chúng tôi được đảm bảo để đạt được khi chúng tôi tiếp tục lấy căn bậc hai bắt đầu từ bất kỳ số nguyên nào Chúng tôi chỉ xác định$T(n) = a$cho$n<b$, cho một số thực$a$,$b$?

(2). Ở trang 7, Erickson nhận được rằng số lớp trong cây đệ quy L sẽ thỏa mãn $n^{{2}^{-L}} = 2$ . Cái này đến từ đâu vậy? Tôi không có ý kiến. Tôi thấy rằng số lượng lá trong cây nên tổng hợp để $\sqrt(n)\sqrt(n) = n$, nhưng tôi không biết phải đi đâu từ đó.

Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao!

Ghi chú Tôi đang xem: http://jeffe.cs.illinois.edu/teaching/alerskyms/notes/99-recurrences.pdf

Bạn thực sự nên hỏi một câu hỏi thứ ba: điều gì xảy ra nếu không phải là một hình vuông hoàn hảo. Câu trả lời cho câu hỏi này là sự tái phát thực tế nên có T ( ⌊ $n$hoặcT(⌈$T(\lfloor \sqrt{n} \rfloor)$thay vìT($T(\lceil \sqrt{n} \rceil)$, mặc dù trong phân tích, chúng tôi sẽ chỉ xem xét các đầu vào là các hình vuông "đệ quy".$T(\sqrt{n})$

Về câu hỏi đầu tiên của bạn, có thể có nhiều hơn một trường hợp cơ bản. Ví dụ: có lẽ với mọi n ≤ 100 . Bạn được đảm bảo để cuối cùng đạt được trường hợp cơ sở này. Trong trường hợp này, như trong hầu hết các trường hợp, hình thức chính xác của trường hợp cơ sở không ảnh hưởng đến triệu chứng Theta lớn (nhưng nó ảnh hưởng đến hằng số ẩn).$T(n) = 1$$n \leq 100$

Cuối cùng, liên quan đến câu hỏi thứ hai của bạn, giả sử rằng trường hợp cơ sở mà bạn chỉ định cho n ≤ C . Cây đệ quy (là một cách giải thích cụ thể của một số tính năng của sự tái phát) có dạng sau:$T(n)$$n \leq C$

• Các gốc là một ví dụ của kích thước .$n$
• Gốc có trẻ em đó là trường hợp của kích thước$\sqrt{n}$ .$\sqrt{n}$
• Mỗi nút ở độ sâu 1 có trẻ em đó là trường hợp của kích thước$\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/4}$.$\sqrt{\sqrt{n}} = n^{1/8}$
• Tổng quát hơn, một nút ở độ sâu là một thể hiện của kích thước n 1 / 2 d . Bạn có thể chứng minh điều này bằng cảm ứng bằng cách kiểm tra các trường hợp d = 0 (trong đó n 1 / 2 d = n ) và tính toán $d$$n^{1/2^d}$$d = 0$$n^{1/2^d} = n$ .$\sqrt{n^{1/2^d}} = n^{1/2^{d+1}}$

Các chấm dứt đệ quy khi dụ có kích thước tối đa là , và điều này sẽ xảy ra khi n 1 / 2 d ≤ C . Tại thời điểm đó điều này xảy ra, chúng tôi có n 1 / 2 d - 1 > C (giả sử n > C ), và do đó $C$$n^{1/2^d} \leq C$$n^{1/2^{d-1}} > C$$n > C$. Lấy logarit,$\sqrt{C} < n^{1/2^d} \leq C$và vì vậylog$\frac{1}{2} \log C < \frac{\log n}{2^d} < \log C$, ngụ ý2d=Θ(logn). Chúng ta có thể kết luận rằngd≈loglogn. Đây là số lớp trong cây. Jeff sử dụngC=2, đó là cách anh ta có được công thức đặc biệt của mình.$\frac{\log n}{2^d} = \Theta(1)$$2^d = \Theta(\log n)$$d \approx \log\log n$$C = 2$

Trả lời câu hỏi đầu tiên của bạn. Thay thế cho việc sử dụng giới hạn trên và giới hạn dưới để đạt được trường hợp cơ sở, một tùy chọn là bạn có thể giả sử dạng .$n$

Lấy ví dụ, đệ quy sáp nhập:

$$T(n) = 2c \cdot T\left( \frac{n}{2} \right) + c \cdot n$$

Rõ ràng, hầu hết sẽ không chia đều thành các số nguyên. Sau đó, khá phổ biến khi giả sử rằng n có dạng: n = 2 $n$$n$

$$n = 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}$$

Điều này ngụ ý mỗi là một lũy thừa 2 , do đó giải quyết trường hợp cơ sở của chúng ta luôn luôn là 1 . Ngoài ra chúng ta có thể làm cho các trường hợp cơ sở c thay vì 1 bằng cách giả sử n có dạng: n = c ⋅ 2 $n$$2$$1$$c$$1$$n$

$$n = c \cdot 2^k \quad\quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$

Chúng tôi có thể áp dụng điều này cho sự tái phát của chúng tôi:

$$T(n) = \sqrt{n} \cdot T\left(\sqrt{n}\right) + n$$

Giả sử có dạng: n = c 2 $n$ Sau đó, trường hợp cơ sở sẽ luôn giải quyết đến một hằng số c .

$$n = c^{2^k} \quad \quad k \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}^+$$ $c$

Bây giờ nếu bạn có thể chứng minh nó theo giả định này, thì bạn có thể tiếp tục làm bằng chứng cho giá trị không có dạng này. Một cách tiếp cận sẽ là bằng cách cố gắng ràng buộc nó bằng cách tiếp theo cao nhất (hoặc thấp nhất) n mà không có hình thức đó.$n$$n$