Lỗi khi sử dụng ký hiệu tiệm cận

10

Tôi đang cố gắng hiểu điều gì là sai với bằng chứng sau đây về sự tái phát sau đây

T (n) = 2 T (⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n

$T(n) = 2\,T\!\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n$

T (n) \leq 2 (c ⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n \leq c n + n = n (c + 1) = O (n)

$T(n) \leq 2\left(c\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n \leq cn+n = n(c+1) =O(n)$

Tài liệu nói rằng nó sai vì giả thuyết quy nạp rằng

T (n) \leq c n

$T(n) \leq cn$ Tôi đang thiếu gì?

— Erb
nguồn

2

Sự lặp lại của hình thức này cũng có thể được giải quyết bằng định lý Master .

— Juho

2

@Ran: Tôi không nghĩ định lý chủ là một thẻ thích hợp cho câu hỏi này. Câu hỏi không phải là về cách giải quyết nó, mà là chỉ ra sai lầm trong một lập luận cụ thể. Bên cạnh đó, định lý chủ có lẽ quá cụ thể và có lẽ không xứng đáng để có thẻ riêng. Nói chung, chúng ta nên gắn thẻ dựa trên câu hỏi, không thể trả lời. Ví dụ, bạn sẽ gắn thẻ akra-bazzi này?

— Aryabhata

"Có gì sai với bằng chứng sau" - Tôi không thấy bằng chứng. Nó thường hữu ích để viết ra một bằng chứng đầy đủ (nghĩa là làm cho cảm ứng rõ ràng) để phát hiện ra sai lầm.

— Raphael

Một câu hỏi tổng quát hơn có liên quan là Giải quyết hoặc xấp xỉ quan hệ lặp lại cho các chuỗi số .

— Juho

12

$T(n) = \mathcal{O}(n)$

$T(i) \leq ci$ $i < n$

$T(n) \leq cn$

$T(n) \leq (c+1)n$ $c$ $n$ $T(n) = \mathcal{O}(n)$

$T(n)$ $\Theta(n \log n)$

— tập giấy
nguồn

nếu chúng ta thay thế c '= c + 1, nó có tạo ra thay đổi gì không?

— Erb

c^{'} = c + 1

$c'=c+1$

T (n) \leq (c^{'} + 1) n

$T(n) \leq (c'+1)n$

T (n) \leq (c + 2) n

$T(n) \leq (c+2)n$

8

$T(n) = O(n)$

$T(k) = O(k)$ $k<n$ $T(k) \le c \, k$ $c$ $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$ $T(n) = O(n)$

$T(k) = O(k)$ $k \lt n$ $T(k) = O(k)$ $c$ $\forall k \ge N, T(k) \le c \, k$ $T(n)=O(n)$ $T$ $T(n)$

$O$

$T(k) \le c \, k$ $k < n$ $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$

$T(k) \le c \, k$ $k=n$ $T(k) \le (c+1) \, k$ $T(k) \le c \, k$ $c$ $T$ $c$ $k$

$c$ $1$ $k$ $m=2^p k$ $c_m = c_k + p$ $c_k = c_0 \log_{2} k$

$k \ge 1$ $T(k) \le c \log_2(k)$

$\Theta(n\,\mathrm{log}(n))$ $O(n)$

$2T(n/2)$ $n$ $\log_2(2) = 1$ $\Theta(n\,\log(n))$

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn

7

Tôi đang mở rộng câu trả lời đã được đưa ra, có lẽ chỉ bằng cách giải thích bình luận của tôi chi tiết hơn.

$T(n) = a T(n/b) + f(n)$ $a \geq 1$ $b > 1$ $f(n)$ $\lfloor n/2 \rfloor$ $n/2$ $n/2$

$a = 2$ $b = 2$ $f(n) = \Theta(n)$ $n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n$ $f(n) = \Theta (n)$ $T(n) = \Theta (n \log n)$

— Juho
nguồn

n = 2^{k}

$n=2^k$