Khó hiểu định lý chủ, từ Ghi chú của Jeffrey Erickson

Tôi đang xem Ghi chú của Jeffrey Erickson về định lý chính (trang 10).

Phần (b) của định lý nói rằng nếu , và thì T (n) là . Nhưng tôi nhận được một kết quả khác.$T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)$$af(\frac{n}{b}) = kf(n)$$k>1$$\Theta(n^{\log_b(a)})$

Sử dụng cây đệ quy, chúng ta có

$$T(n) = \sum_{i=0}^{\log_b(n)} a^i f\left(\frac{n}{b^i}\right) = \sum_{k=0}^{\log_b(n)} k^i f(n)\,.$$

Nếu thì đây là như mong muốn. Nếu thì đây là như mong muốn. Nhưng nếu thì đây là một chuỗi hình học tăng dần, vì vậy thuật ngữ cuối cùng chiếm ưu thế. Khi đó ta có đó là sai; câu trả lời đúng là . Trường hợp lý luận của tôi đi ra khỏi đường ray, và giải pháp chính xác là gì?$k<1$$\sim f(n)$$k=1$$\sim \log_b(n)f(n)$$k>1$

$$\sim k^{\log_b(n)}f(n) = n^{\log_b(k)}f(n)\,,$$ $\Theta(n^{\log_b(a)})$

Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao.

EDIT: Tôi nghĩ rằng câu trả lời của tôi thực sự đúng và tương đương với câu trả lời đơn giản hơn của Erickson. Lưu ý rằng Do đó .$k^nf(n) = k^{n-1}af(\frac{n}{b}) ... = ka^{n-1}f(\frac{n}{b^k-1}) = a^nf(\frac{n}{b^k}).$$k^{\log_b(n)}f(n) = a^{\log_b(n)}f(1) \sim n^{\log_b(a)}$

Bạn có thể đơn giản hóa hơn nữa .$n^{\log_b(k)}f(n)$

Chúng ta có . Nếu , chúng ta có thể áp dụng danh tính này lần để nhận .$\frac{a}{k}f(\frac{n}{b}) = f(n)$$c = \log_b(n)$$c$$\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1)$

Vậy$n^{\log_b(k)}f(n) = n^{\log_b(k)}\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1) = k^{\log_b(n)}\left(\frac{a}{k}\right)^{\log_b(n)} f(1) = a^{\log_b(n)}f(1) = \Theta(n^{\log_b(a)})$