Giảm sản phẩm trong HoTT sang mã hóa nhà thờ / scott

Vì vậy, tôi hiện đang đi mặc dù cuốn sách HoTT với một số người. Tôi đã đưa ra tuyên bố rằng hầu hết các loại quy nạp mà chúng ta sẽ thấy có thể được giảm xuống thành các loại chỉ chứa các loại hàm và vũ trụ phụ thuộc bằng cách lấy loại recuror làm nguồn cảm hứng cho loại tương đương. Tôi bắt đầu phác thảo làm thế nào tôi nghĩ rằng điều này sẽ làm việc và sau một số vấp ngã tôi đã đi đến những gì tôi nghĩ là một câu trả lời.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

Điều này đưa ra các phương trình xác định chính xác (xác định các phương trình cho và bị bỏ qua) nhưng điều này có nghĩa là sẽ có loại sai. $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

Và dường như không có một sửa chữa đơn giản cho việc này. Tôi cũng đã nghĩ về định nghĩa sau đây.

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

Nhưng điều này chỉ không đánh máy.

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

Vì vậy, có vẻ như chúng ta có thể định nghĩa người nhận ở đây nhưng không phải là cuộn cảm. Chúng ta có thể định nghĩa một cái gì đó khá gần giống như cuộn cảm nhưng không hoàn toàn làm được. Đệ quy cho phép chúng tôi thực hiện logic lấy loại này thành ý nghĩa của kết hợp logic nhưng nó không cho phép chúng tôi chứng minh những điều về các sản phẩm dường như thiếu.

Chúng tôi có thể thực hiện loại giảm mà tôi tuyên bố có thể được thực hiện? Đó là, chúng ta có thể định nghĩa một loại chỉ sử dụng các loại hàm và vũ trụ phụ thuộc có chức năng ghép nối và cuộn cảm với cùng phương trình xác định và loại như các sản phẩm không? Đó là sự nghi ngờ ngày càng tăng của tôi rằng tôi đã tuyên bố sai. Có vẻ như chúng ta có thể đến gần một cách bực bội nhưng chỉ là không hoàn toàn làm được. Nếu chúng ta không thể định nghĩa nó thì loại tranh luận nào giải thích tại sao chúng ta không thể? Các sản phẩm như được trình bày trong sách HoTT có làm tăng sức mạnh của hệ thống không?

— Jake
nguồn

Theo như tôi hiểu, mã hóa Church thông thường cung cấp cho chúng ta một loại thừa nhận loại bỏ không phụ thuộc (recoder), nhưng không loại bỏ phụ thuộc (cuộn cảm). Câu hỏi của bạn có thể liên quan đến câu hỏi này . Tôi không chắc chắn nếu HoTT thay đổi một cái gì đó liên quan đến điều này.

— chi

Điều này có vẻ hữu ích. Theo tôi hiểu, câu hỏi của tôi sẽ được trả lời cho tính toán dự đoán của các loại công trình (Coq trừ (co) quy nạp). Tôi đã tìm kiếm các bài báo đi qua các mô hình này (các mô hình CoC không phải là mô hình của CiC) nhưng không thể tìm thấy bất kỳ mô hình nào. Bạn có tình cờ có một nguồn?

— Jake

Thật không may, tôi không có một tài liệu tham khảo để chia sẻ. Tôi cũng muốn có một nguồn trích dẫn cho thực tế văn hóa dân gian này.

— chi

Tôi cũng tiếp tục tìm các tài liệu tham khảo dân gian về thực tế này nhưng dường như tôi không thể tìm thấy một lời giải thích.

— Jake

Câu hỏi hay, nhưng nó sẽ không phù hợp hơn trên cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

Câu trả lời:

Tài liệu tham khảo tiêu chuẩn tôi thường đưa ra là Cảm ứng không có nguồn gốc trong lý thuyết loại phụ thuộc bậc hai của Herman Geuvers, nói rằng không có loại

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

như vậy mà

i n d : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

là có thể chứng minh. Điều này cho thấy rằng thực sự, một mã hóa như vậy không thể hoạt động cho các cặp như bạn mô tả.

Hệ thống này được chứng minh là một tập hợp con của Tính toán công trình, chứa các loại sản phẩm mạnh mẽ và vũ trụ. Tôi nghi ngờ kết quả này có thể được mở rộng cho hệ thống mà bạn quan tâm, tùy thuộc vào những gì bạn có.

Đáng buồn thay, tôi không biết câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi của bạn. Tôi nghi ngờ rằng việc thêm các nguyên tắc tham số nhất định "bên trong" là chính xác những gì được yêu cầu để làm cho các bảng mã này hoạt động với nguyên tắc cảm ứng đầy đủ. Neel Krishnaswami, người có kiến thức là một siêu nhân nghiêm ngặt của riêng tôi, đã viết một bài báo dọc theo những dòng này với Derek Dreyer:

Nội địa hóa tham số quan hệ trong tính toán mở rộng của các công trình

Điều đáng quan tâm là bài báo sau của Bernardy, Jansson và Patterson (Bernardy đã suy nghĩ sâu sắc về những chủ đề này):

Các loại tham số và phụ thuộc

Rõ ràng thông số có mối quan hệ chặt chẽ với HoTT nói chung, nhưng tôi không biết chi tiết là gì. Tôi nghĩ Steve Awodey đã xem xét những câu hỏi này, vì thủ thuật mã hóa rất hữu ích trong bối cảnh mà chúng ta không thực sự biết những người loại bỏ sẽ trông như thế nào.

— cody
nguồn

Để làm cho ý tưởng của bạn hoạt động, bạn cần thêm một cái gì đó, như đã được chỉ ra trong câu trả lời của @ cody. Sam Speight đã làm việc dưới sự giám sát của Steve Awodey để xem những gì có thể đạt được trong HoTT bằng cách sử dụng vũ trụ mang tính bắt buộc, xem Mã hóa giả định của các loại quy nạp trong bài đăng trên blog của HoTT .

— Andrej Bauer
nguồn