Kiểm tra xem chỉ có một đường dẫn đơn giản trong biểu đồ giữa các nút x và y`

Hãy nói rằng chúng tôi đã đưa ra đơn giản vô hướng đồ thị có nút và cạnh hai chiều. Đối với và chúng tôi muốn kiểm tra xem trong biểu đồ chỉ có một đường dẫn đơn giản giữa chúng.$G$$N$$M$$x$$y$

Những gì tôi đã nghĩ, là chúng ta nên tìm tất cả các chu kỳ trong biểu đồ và chạy bfs từ đến , nếu đường dẫn không di chuyển qua các đỉnh trong một chu kỳ nào đó, chỉ có một đường dẫn, và nếu không thì có nhiều hơn.$x$$y$

Có một số cách khác để kiểm tra điều này?

Đề xuất của Raphael sử dụng đường dẫn ngắn nhất 2 lần là đúng nhưng phức tạp hơn mức cần thiết.

Cách tiếp cận của bạn là không khả thi, số lượng chu kỳ là yếu tố trong kích thước của đầu vào.

Đây là một bản phác thảo của một giải pháp kịp thời $O(|V|+|E|)$.

Tìm một con đường $p_1, \dots p_n$ từ $x$ đến $y$ trong $O(|V|+|E|)$. Nếu không có con đường như vậy tồn tại, trả lời$\textsf{NO}$. Nếu không, đánh dấu tất cả các nút trong đường dẫn. Đường dẫn đó thực sự là duy nhất khi và chỉ khi không có nút nào trong đường dẫn đó đến một nút đi sau nó. Bắt đầu từ nút đầu tiên của đường dẫn$p_1$, chọn một cạnh ngẫu nhiên đi ra từ $p_1$ khác với cái kết nối nó với $p_2$và bắt đầu một DFS từ đó. Nếu bạn đạt đến một nút được đánh dấu, hãy trả lời$\textsf{NO}$, nếu bạn không bao giờ đạt đến một nút được đánh dấu, hãy cắt nhánh đó khỏi biểu đồ và chọn một cạnh ra ngẫu nhiên khác. Tiếp tục theo cách tương tự cho đến khi tất cả các cạnh đi hết, sau đó bắt đầu lại với nút sau cho đến khi bạn đạt được$p_n$. Nếu bạn hoàn thành thủ tục mà không bao giờ trả lời$\textsf{NO}$, câu trả lời $\textsf{YES}$. Toàn bộ thủ tục có chi phí của một DFS,$O(|V|+|E|)$, do đó tổng thời gian là $O(|V|+|E|)$.

Chạy thuật toán đường dẫn ngắn nhất k với$k=2$ và quan sát xem nó có thất bại không.

Nếu có một đường dẫn từ nguồn $x$đến một chu kỳ nào đó không phải lúc nào cũng mâu thuẫn với sự tồn tại của một con đường đơn giản. Hãy xem ví dụ sau:

Ở đây có một chu kỳ có thể đạt được từ $x$ và $y$. Vấn đề này có thể được giải quyết trong$O(|V| + |E|)$.

Bạn có thể chạy BFS để tìm khoảng cách ngắn nhất từ $x$ đến mọi đỉnh trên biểu đồ và giống nhau từ $y$. Một nút thuộc về đường dẫn ngắn nhất từ$x$ đến $y$ nếu và chỉ nếu

$$distance(x,u) + distance(u,y) = distance(x,y)$$ Bây giờ, để kiểm tra xem có một đường dẫn đơn hay không, hãy kiểm tra xem các nút hợp lệ trong đường dẫn ngắn nhất ở mọi khoảng cách xảy ra nhiều nhất một lần. Đây là, nếu có ít nhất hai nút thuộc về một con đường ngắn nhất từ$x$ đến $y$ có cùng khoảng cách với $x$sau đó, có ít nhất hai con đường ngắn nhất, nếu không nó là duy nhất. Bạn có thể thực hiện tất cả xử lý hậu kỳ trong$O(|V|)$.

Thực hiện tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ $x$và chú thích các cạnh tùy theo chúng là cạnh cây, mặt sau hay cạnh chéo (ví dụ ở đây ).

Có nhiều hơn một con đường đơn giản từ $x$ đến $y$ nếu và chỉ khi có (ít nhất) một nút trên đường dẫn từ $x$ đến $y$ chỉ sử dụng các cạnh cây (tức là đường dẫn được tìm thấy bởi DFS) là sự cố đối với cạnh sau hoặc cạnh chéo.