Giải quyết các đợt tái phát thông qua đa thức đặc trưng với các gốc tưởng tượng

Trong phân tích thuật toán, bạn thường phải giải quyết các đợt tái phát. Ngoài Định lý tổng thể, các phương pháp thay thế và lặp lại, còn có một phương pháp sử dụng đa thức đặc trưng .

Nói rằng tôi đã kết luận rằng một đa thức đặc trưng có gốc tưởng tượng , cụ thể là x 1 = 1 + i và x 2 = 1 - i . Sau đó tôi không thể sử dụng$x^2 - 2x + 2$$x_1 = 1+i$$x_2 =1-i$

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

để có được giải pháp, phải không? Làm thế nào tôi nên tiến hành trong trường hợp này?

Có, giải pháp là trong thực tế đối với một số hằng số alpha và β được xác định bởi các trường hợp cơ sở. Nếu các trường hợp cơ sở là có thật, thì (bằng cảm ứng), tất cả các số hạng phức trong T ( n ) sẽ hủy, đối với tất cả số nguyên n .$T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$$\alpha$$\beta$$T(n)$$n$

Ví dụ, hãy xem xét sự tái phát , với các trường hợp cơ sở T ( 0 ) = 0 và T ( 1 ) = 2 . Đa thức đặc trưng của sự tái phát này là x 2 - 2 x + 2 , do đó, giải pháp là T ( n ) = α ( $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$$T(0)=0$$T(1)=2$$x^2-2x+2$ đối với một số hằng số alpha và β . Cắm trong các trường hợp cơ sở cho chúng ta T ( 0 ) = α ( 1 + i ) 0 + β ( 1 - i ) 0 = α + β = $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$$\alpha$$\beta$ trong đó hàm ý α + β =

$$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$$ trong đó hàm ý α = - i và β = i . Vì vậy, giải pháp là T ( n ) = i ⋅ ( ( 1 - i ) n - ( 1 + i ) n ) $$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$$ $\alpha = -i$$\beta = i$ $$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$$

Chức năng này dao động giữa và-$\sqrt{2}^n$$-\sqrt{2}^n$$T(4n) = 0$$n$$(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$$T(0)$