Trên đa tạp chiều và mạng

EDIT (Tác giả Tara B): Tôi vẫn quan tâm đến một tài liệu tham khảo về một bằng chứng về điều này, vì tôi phải tự chứng minh điều đó cho bài viết của mình.

Tôi đang tìm bằng chứng của Định lý 4 xuất hiện trong bài báo này:

Một hệ thống phân cấp vô hạn các giao diện của các ngôn ngữ không có ngữ cảnh của Liu và Weiner.

Định lý 4: Một đa tạp affine -chiều không thể biểu thị được như là một liên kết hữu hạn của các đa tạp affine mỗi đa chiều có kích thước trở xuống.n - $n$$n-1$

1. Có ai biết một tài liệu tham khảo để chứng minh?
2. Nếu đa tạp là hữu hạn và chúng ta xác định một trật tự tự nhiên trên các phần tử, thì có bất kỳ tuyên bố tương tự nào về mặt mạng không?

Một số nền tảng để hiểu định lý:

Định nghĩa: Đặt là tập hợp các số hữu tỷ. Một tập hợp con là một đa tạp affine if khi , và . M ⊆ Q n ( λ x + ( 1 - λ ) y ) ∈ M x ∈ M y ∈ M λ ∈ $\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Định nghĩa: Một đa tạp affine được cho là song song với một đa tạp affine nếu đối với một số . M M ′ = M + a a ∈ Q$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Định lý: Mỗi không trống affine đa dạng là song song với một không gian con độc đáo . Đây được cho bởi K K K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Định nghĩa: Các khía cạnh của một đa tạp affine không trống là kích thước của vĩ tuyến không gian con với nó.

Theo trực giác, định lý nói rằng một đường thẳng không phải là một liên kết hữu hạn của các điểm, một mặt phẳng không phải là một liên kết hữu hạn của các đường thẳng, v.v ... Bằng chứng đơn giản nhất là quan sát, ví dụ, một liên kết hữu hạn của các đường thẳng có diện tích bằng 0, trong khi một Máy bay thì không.

Cụ thể hơn, hãy quan sát rằng nó đủ để chứng minh yêu cầu về đa tạp trên bằng cách chuyển đến các bao đóng của chúng. Hãy xem xét một đa tạp affine được đưa ra bởi tập hợp các giải pháp cho hệ thống tuyến tính ; việc đóng của nó sẽ chính xác là tập hợp các giải pháp cho cùng một hệ thống qua , do đó bước này không ảnh hưởng đến kích thước của các đa tạp liên quan. Ngoài ra, việc đóng cửa của một liên minh hữu hạn bằng với sự kết hợp của các đóng cửa. M⊆ Q n Ax=b R$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Bây giờ lưu ý chiều Lebesgue thước đo của một đa tạp của chiều là null. Do đó, số đo Lebesgue -chiều của một liên kết hữu hạn của các đa tạp như vậy vẫn bằng không. Nhưng số đo -chiều của một đa tạp -chiều là vô hạn, do đó khác không.≤ d - 1 d d $d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Đối với câu hỏi thứ hai của bạn, tôi không chắc ý của bạn là gì. Nhưng nếu trường cơ sở là hữu hạn, thì bất kỳ biểu thức giới hạn -chiều nào trên đều chứa điểm. Vì vậy, bằng một đối số đếm tương tự, bạn cần ít nhấtkhông gian affine của kích thước để bao phủ một không gian affine của kích thước . d F n | F | d | F | d / | F | d - 1 = | F | ≤ d - 1 $\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Dưới đây là một bằng chứng không có biện pháp hoạt động cho các đa tạp affine trên một trường vô hạn tùy ý (kết quả là sai đối với các trường hữu hạn).$\mathbb F$

Bằng cách cảm ứng trên , chúng ta sẽ chỉ ra rằng một đa tạp affine của chiều không phải là một liên kết hữu hạn của các đa tạp affine có kích thước nhỏ hơn .A ⊆ F m n $n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

Tuyên bố rõ ràng cho : một điểm không phải là một tập hợp (hữu hạn) của các tập hợp trống.$n=0$

Giả sử câu lệnh giữ cho , chúng tôi sẽ hiển thị nó cho . Đặt , trong đó và . Xét một affine tùy ý có thứ nguyên . Vì , giả thuyết cảm ứng ngụ ý rằng đối với một số , tức là . Vì chỉ có tập hợp và là tùy ý, do đó chỉ có nhiều phần tử con của chiều thứ$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$B 0 v Một B 0 A B 0 + một v một ∈ $n$. Tuy nhiên, đây là một mâu thuẫn: nếu chúng ta sửa chữa bất kỳ submanifold như và một vector song song với nhưng không , có vô cùng nhiều submanifolds affine của có dạng , nơi .$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$