Giảm không gian log từ mạch Parity-L sang CNOT?

Câu hỏi.

Trong bài báo của họ Cải tiến mô phỏng các mạch ổn định , Aaronson và Gottesman tuyên bố rằng mô phỏng mạch CNOT là ⊕L -complete (dưới mức giảm logspace). Rõ ràng là nó được chứa trong ⊕L ; làm thế nào để giữ kết quả độ cứng?

Tương đương: có giảm logspace từ các sản phẩm ma trận lặp modulo 2, sang các sản phẩm lặp của ma trận sơ cấp (ma trận khả nghịch có thể thực hiện các phép biến đổi hàng) mod 2 không?

Chi tiết

Một hoạt động KHÔNG được kiểm soát (hoặc CNOT ) là một hoạt động boolean có thể đảo ngược, có dạng trong đó chỉ thay đổi bit ^thứj và đó bit được thay đổi bằng cách thêm modulo 2, cho bất kỳ vị trí riêng biệt h và j . Không khó để thấy, nếu chúng tôi diễn giải

{C N Ôi T}_{h, j} (x_{1}, Giáo dục, x_{h}, Giáo dục, x_{j}, Giáo dục, x_{n}) = = (x_{1}, Giáo dục, x_{h}, Giáo dục, x_{j} \oplus x_{h}, Giáo dục, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$ như một vectơ trên / 2ℤ, điều này tương ứng với một modulo biến đổi hàng cơ bản 2, mà chúng ta có thể biểu diễn bằng một ma trận có 1s trên đường chéo và một vị trí ngoài đường chéo. Một mạch CNOT sau đó là một sản phẩm ma trận bao gồm một sản phẩm của một số ma trận cơ bản thuộc loại này.

Bài báo của Aaronson và Gottesman đã đề cập ở trên (trong đó, rất tình cờ cho câu hỏi này, là về một loại mạch lượng tử có thể được mô phỏng trong ⊕L ) có một phần về độ phức tạp tính toán. Về phần đầu của phần này, họ mô tả ⊕L như sau:

⊕L [là] lớp của tất cả các vấn đề có thể giải quyết được bằng máy Turing logarit không gian logarit không gian, chấp nhận khi và chỉ khi tổng số đường dẫn chấp nhận là số lẻ. Nhưng có một định hướng thay thế có lẽ trực quan hơn đối với các nhà khoa học không phải là máy tính. Đây là L là loại vấn đề làm giảm mô phỏng mạch CNOT có kích thước đa thức, tức là mạch gồm toàn bộ cổng NOT và CNOT, hoạt động ở trạng thái ban đầu | 0 ... 0⟩. (Thật dễ dàng để chỉ ra rằng hai phiên bản tương đương nhau, nhưng điều này đòi hỏi chúng ta phải giải thích ý nghĩa của việc định nghĩa thông thường!)

Đối tượng mục tiêu của bài viết bao gồm một số lượng đáng kể các nhà khoa học không phải là máy tính, vì vậy mong muốn được giải quyết không phải là không có lý; Tôi hy vọng ai đó có thể làm rõ cách thức tương đương này.

Rõ ràng, việc mô phỏng một sản phẩm của các ma trận như vậy có thể được thực hiện trong ⊕L như một trường hợp đặc biệt để đánh giá các hệ số của các sản phẩm ma trận lặp (mod 2), đây là một vấn đề hoàn chỉnh (dưới mức giảm logspace) đối với ⊕L . Hơn nữa, vì các ma trận CNOT chỉ thực hiện các hoạt động hàng cơ bản, bất kỳ ma trận khả nghịch nào cũng có thể được phân tách thành một sản phẩm của ma trận CNOT. Tuy nhiên: không rõ làm thế nào để tôi làm thế nào để phân tách ngay cả một ma trận biến đổi mod 2 thành một sản phẩm của ma trận CNOT bằng cách giảm logspace . (Thật vậy, như Emil Jeřábek đã lưu ý trong các bình luận, việc loại bỏ Gaussian đủ để tính toán các yếu tố quyết định mod 2, đó là một vấn đề ⊕L -complete : vì vậy một cuộc tấn công trực tiếp bằng cách phân tách, ví dụ ma trận khả nghịch như các sản phẩm của ma trận sơ cấp dường như không khả thi trong logspace trừ khi L = ⊕L .) Không nói gì đến các sản phẩm ma trận không thể đảo ngược. Vì vậy, một số giảm thông minh hơn dường như được yêu cầu.

Tôi hy vọng ai đó có thể cung cấp một bản phác thảo về việc giảm này, hoặc một tài liệu tham khảo ( ví dụ: một văn bản mà đây là một bài tập, nếu nó đơn giản).

— Niel de Beaudrap
nguồn

Tôi cho rằng các yếu tố quyết định tính toán mod cũng là ⊕L-đầy đủ, do đó mod loại bỏ Gaussian là ⊕L-hard.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@ EmilJeřábek: Tôi đang suy nghĩ về nhận xét của bạn, và tôi đang cố gắng để xem nếu điều này ngay lập tức có nghĩa là mô phỏng mạch CNOT là không hoàn chỉnh cho ⊕L trừ khi L = ⊕L . (Xem xét một sản phẩm của một ma trận hoặc một sản phẩm của một ma trận đơn với ma trận danh tính!) Điều này có vẻ như quá dễ dàng; tui bỏ lỡ điều gì vậy? Tôi cho rằng có lẽ nó chỉ loại trừ nhiều mức giảm một.

— Niel de Beaudrap

Tôi không nghĩ rằng nó dễ dàng. L là một lớp các vấn đề quyết định, trong khi nhân ma trận trên F_2 là một vấn đề chức năng. Phiên bản ⊕L của phép nhân ma trận là yêu cầu một bit cụ thể của kết quả (giả sử, mục trên cùng bên trái của ma trận). Có thể có một thuật toán logspace lấy một chuỗi các ma trận và tạo ra một chuỗi các ma trận cơ bản để các sản phẩm của cả hai chuỗi có cùng một phần tử trên cùng bên trái? Điều này yếu hơn nhiều so với loại bỏ Gaussian thực sự. Trên thực tế, yêu cầu của Aaronson và Gottesman nghe có vẻ hợp lý với tôi, mặc dù tôi không chắc làm thế nào để chứng minh điều đó.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@ EmilJeřábek: Tôi đang suy nghĩ về cách mà hầu hết các vấn đề quyết định ⊕L dựa trên việc xác minh các hệ số riêng lẻ của các vấn đề là tự nhiên đối với DET (thường nói về các vấn đề chức năng là L -complete , tuy nhiên việc lạm dụng thuật ngữ đó là); và trực giác của tôi đối với các sản phẩm ma trận là nó đủ phức tạp đến mức khó có thể sắp xếp ad-hoc, đối với bất kỳ hệ số đơn lẻ nào , hai sản phẩm ma trận phải bằng nhau cho hệ số đó theo cách mà bạn không thể chắc chắn rằng tất cả các hệ số khác cũng sẽ đồng ý.

— Niel de Beaudrap

Tôi hiểu điều đó: đếm các đường dẫn chấp nhận của một máy logspace tương đương với việc đếm các đường dẫn trong đồ thị theo chu kỳ , có thể được biểu diễn bằng cách nhân các ma trận tam giác trên với 1 trên đường chéo. Cái sau có thể dễ dàng được biểu diễn như một sản phẩm của ma trận sơ cấp một cách rõ ràng, mà không cần loại bỏ Gaussian.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán complete khi đếm mod số đường dẫn có độ dài từ đỉnh đến đỉnh trong đồ thị có hướng . Chúng tôi áp dụng một vài giảm logspace như sau. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

Hãy để là đồ thị mà và $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (nghĩa là chúng ta lấy bản sao củađỉnh , tạo các cạnh đi từbản sao thứ sang bản sao theocác cạnh của và thêm tất cả các vòng tự). Sau đó, vấn đề ban đầu là tương đương với đường dẫn đếm độ dài từ để $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ trong . $G'$

Hơn nữa, là mạch hở, và chúng ta có thể xác định một cách rõ ràng một điều tra như vậy mà tất cả các cạnh trong ngoài việc tự vòng đi từ đến đối với một số . Không mất tính tổng quát, và . Hãy là ma trận kề của $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ wrt liệt kê cho trước. Sau đó là một ma trận trên tam giác số nguyên với trên đường chéo, và số lượng các đường dẫn có độ dài từ để bằng với các yếu tố trên bên phải của . $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

Nó rất dễ dàng để thấy rằng nơi là ma trận tiểu học mà chỉ đường chéo entry là trong hàng và cột . Bằng cách này, chúng tôi đã giảm vấn đề ban đầu để tính toán phần tử bên phải trên cùng của sản phẩm ma trận sơ cấp. Trong

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ trường hợp, tính toán là modulo

, nghĩa là chúng ta xem xét các ma trận trên

. (Trong trường hợp này, các ma trận cơ bản chỉ có thể là

, mà chúng ta có thể bỏ qua và

, có thể được mô phỏng bằng một cổng CNOT duy nhất, như đã đề cập trong câu hỏi .) Nếu chúng ta xem xét chúng như ma trận số nguyên, chúng ta có được một

vấn đề -complete, và nếu chúng ta xem xét modulo

, chúng ta có được một

vấn đề -complete.

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica
nguồn

Ý tôi là, nó là

-complete cho các ma trận cơ bản với các hệ số nguyên không âm . Với số nguyên tùy ý, nó là DET-đầy đủ.

# L

$\#L$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Điều sau đây có thể là tiêu chuẩn, nhưng tôi đã không thấy rõ điều đó trước đây: để chỉ ra rằng việc tìm ra số lượng đường dẫn chính xác n trong một máy sơ đồ (có thể là chu kỳ) là ⊕L -complete , lưu ý rằng điều này có nghĩa là tính toán các hệ số của một số sức mạnh của một ma trận tùy ý trên

, là ⊕L -complete . Câu trả lời này về cơ bản là sự giảm bớt từ việc cung cấp năng lượng ma trận (sử dụng cấu trúc tiêu chuẩn của M làm ma trận khối chỉ bao gồm các bản sao của ma trận kề tùy ý của G trong các khối ngoài đường chéo và 1 trên đường chéo) cho các mạch CNOT . Câu trả lời tốt đẹp!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap

Bạn không cần phải trải qua việc cung cấp năng lượng ma trận, mà độ hoàn thiện ⊕L của nó khó chứng minh hơn. L được xác định bằng cách đếm mod 2 các đường dẫn chấp nhận của máy Turing logistic không điều kiện (với đồng hồ thời gian đa thức, tôi cho rằng, số này được đảm bảo là hữu hạn), giống như đếm các đường dẫn trong biểu đồ cấu hình của máy (thật dễ dàng để sắp xếp tất cả các đường dẫn kết thúc trong cùng một cấu hình và các đường dẫn có cùng độ dài, bằng cách làm cho máy đi vào một vòng lặp cho đến khi đồng hồ hết hạn và sau đó vào trạng thái chấp nhận cố định).

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Tôi cho rằng từ việc tập trung vào các ý tưởng trong bài viết Cấu trúc và tầm quan trọng của các lớp Logspace-MOD của Buntrock et al. , Tôi đã trở nên quen thuộc hơn với việc suy nghĩ về số lượng các đường dẫn có độ dài tùy ý trong một bản vẽ theo chu kỳ và các vấn đề giống như DET như các sản phẩm ma trận và sức mạnh được kết nối tự nhiên với nó.

— Niel de Beaudrap