Có ứng dụng nào của kỹ thuật trong phân tích thực vào khoa học máy tính lý thuyết không?

Tôi đã nhìn xa và rộng cho các ứng dụng như vậy và hầu hết đã xuất hiện ngắn. Tôi có thể tìm thấy rất nhiều ứng dụng của cấu trúc liên kết và các cấu trúc tương tự trên các tập hợp đếm được (hoặc không đếm được), nhưng hiếm khi tôi thực sự tìm thấy các tập hợp không thể đếm được là đối tượng nghiên cứu của các nhà khoa học máy tính, và do đó dẫn đến nhu cầu về kỹ thuật phân tích.

Đây là hai khóa học liên quan:

• Phương pháp phân tích trong tổ hợp và CS của Ehud Friedgut tại Đại học Toronto (2009),
• Phương pháp phân tích trong kết hợp và khoa học máy tính của Irit Dinur và Ehud Friedgut tại Đại học Do Thái (2006).

Đồng thời kiểm tra ghi chú của Ryan O'Dellell cho cuốn sách của anh ấy:

• Phân tích các hàm Boolean của Ryan O'Donnell.

và các liên kết ở góc trên bên phải.

Xem cuốn sách Toán học cụ thể - Một nền tảng cho khoa học máy tính của Graham, Knuth và Patashnik. Trong Chương 9, họ giải thích công thức tính tổng của Euler-Maclaurin . Đây là một kỹ thuật cho phép bạn tính gần đúng một số hữu hạn bằng cách sử dụng các tích phân. Trong cùng một chương, trang 466, họ sử dụng kỹ thuật này để tính gần đúng số hài (xuất hiện rất nhiều trong một số lĩnh vực của TCS). Nó đã xảy ra với tôi một lần tôi phải sử dụng nó, và cuối cùng tôi đã giải được một tích phân bằng cách sử dụng các kỹ thuật gần đúng tiệm cận cho các phương trình khác biệt!

Có lý thuyết về giới hạn của các chuỗi đồ thị dày đặc, được phát triển trong tác phẩm của Lovasz và B. Szegedy. Nó có ý nghĩa đối với các vấn đề kiểm tra tài sản nhất định trên biểu đồ. Xem http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Về cơ bản, ý tưởng là họ xác định một số liệu phù hợp trên biểu đồ và khái niệm lấy giới hạn của chuỗi biểu đồ, và sau đó họ cho thấy một thuộc tính biểu đồ có thể kiểm tra được nếu hàm ánh xạ biểu đồ tới khoảng cách chỉnh sửa đến thuộc tính liên tục trong không gian số liệu trên biểu đồ đã được xác định.

Và sau đó, tất nhiên có kiệt tác của Flajolet và Sedgewick dành riêng cho việc sử dụng các phương pháp phân tích để phân tích tiệm cận của các cấu trúc tổ hợp, bao gồm phân tích các thuật toán. Điều này chủ yếu là tạo ra các thủ thuật hàm dựa trên phân tích phức tạp

Như Shir đã đề cập đến sự bất bình đẳng của Jensen xuất hiện mọi lúc. Đặc biệt là trong việc chứng minh giới hạn trong các vấn đề tổ hợp. Ví dụ, hãy xem xét vấn đề sau:

Với một gia đình các tập con của V = { 1 , ... , n } , nó ngã đồ thị G = ( V , E ) được xác định bởi { i , j } ∈ E nếu và chỉ nếu S i ∩ S j ≠ ∅ . Giả sử rằng kích thước tập trung bình là r và kích thước trung bình của các giao điểm cặp đôi nhiều nhất là k. Cho thấy$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$ .$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

Bằng chứng:

Chúng ta hãy đếm các cặp sao cho x ∈ V và x ∈ S i ∩ S j . Trước tiên chúng ta hãy sửa ( S i , S j ) , chúng ta thấy rằng có nhiều nhất k lựa chọn như vậy. Lấy tất cả các giá trị của ( S i , S j ) , chúng ta có giới hạn trên của$(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$. Bây giờ chúng tôi sửa x. Dễ dàng thấy rằng mỗixcó ( d(x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$ cách chọn(Si,Sj). Bằng sự bất bình đẳng của Jensen, chúng ta có:$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

.$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

Cuối cùng chúng tôi kết hợp các thuật ngữ để có .$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

Mặc dù đây là một "toán học" hơn một chút so với CS, nhưng nó phục vụ cho thấy cách sử dụng một công cụ cho các hàm lồi - đặc biệt là tối ưu hóa tổ hợp.

Làm thế nào về tính toán hiệu quả với Dedekind Reals của Andrej Bauer và Paul Taylor.

Một kỹ thuật rất phổ biến và thường hữu ích khi tiếp cận một vấn đề trong toán học rời rạc là nhúng nó vào một miền liên tục, vì điều này cho phép lựa chọn nhiều hơn các công cụ toán học được sử dụng. Vì vậy, sửa câu trả lời của tôi: ngoài các lĩnh vực phân tích thực sẽ xuất hiện một cách tự nhiên (đồ họa, xử lý tín hiệu và các lĩnh vực khác bắt chước hoặc tương tác với thế giới vật lý), về cơ bản nó xuất hiện ở mọi nơi và ở những nơi không có - đoán là nó sẽ trong tương lai.

Một số ví dụ nhanh:

1. Lỗi sửa mã: Mã sậy solomon sử dụng đa thức. Một số giới hạn về mã liên quan đến việc xem chức năng chỉ báo của mã dưới dạng một hàm từ khối rời rạc đến thực tế, do đó áp dụng biến đổi Fourier và các kỹ thuật khác.
2. Phương pháp xác suất - định lý nồng độ đo (một công cụ phân tích) được sử dụng để hiển thị các thuộc tính khác nhau của đồ thị ngẫu nhiên (ví dụ số màu). Xem cuốn sách của Alon và Spencer.

3. $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

Nếu tôi nhớ lại chính xác định lý của Noga Alon về việc tách dây chuyền sẽ sử dụng phiên bản liên tục của vấn đề.

Xem: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Ngoài ra còn có một đề cập đến điều đó trong trang wiki ở đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Hulk%E2%80%93Rice_theorem

Trường đo lường giới hạn tài nguyên áp dụng biện pháp Lebesgue cho các lớp phức tạp. Ý tưởng là để có được sự tách biệt giữa các lớp phức tạp bằng cách nói về "kích cỡ" tương đối của các bộ này.

Có một bài báo hay, Giao tiếp một chiều lượng tử mạnh hơn truyền thông cổ điển của Boaz Klartag & Oded Regev, sử dụng một số lượng lớn các kỹ thuật từ phân tích thực không phổ biến trong TCS, bao gồm biến đổi Radon, điều hòa hình cầu & siêu liên kết bất bình đẳng trên khối cầu đơn vị (không rời rạc)

Giới hạn dưới theo cấp số nhân cho kích thước của mạch thực đơn điệu (1997) của Haken, Cook

Tôi luôn thấy các mối liên hệ giữa các ngôn ngữ thông thường / không ngữ cảnh và lý thuyết chức năng (chính thức (chuỗi chính thức) khá thú vị: đó là lý do tại sao người Pháp gọi các lớp ngôn ngữ này là "hợp lý" và "đại số". Điều này cũng chỉ ra các kết nối với hình học fractal. Trong một tĩnh mạch tương tự, ví dụ, automata hữu hạn có thể định nghĩa các ngôn ngữ trên các từ vô hạn có các thuộc tính tô pô đẹp khi được trang bị cấu trúc liên kết số liệu tiêu chuẩn.

Một kết nối khác có thể là lý thuyết "tập hợp" được phát triển gần đây cho phép tăng tốc một số thuật toán tương tự như những gì được biết đến từ các biến đổi Fourier. Tôi cho rằng đây ít nhất là "những điểm tương đồng truyền cảm hứng".