Bài toán vectơ thuật toán

Tôi có một vấn đề đại số liên quan đến vectơ trong trường GF (2). Hãy là (0,1) -vectors của chiều n , và m = n O ( 1 ) . Tìm một thuật toán thời gian đa thức đó tìm thấy một (0,1) -vector u của kích thước tương tự như vậy mà u không phải là tổng của bất kỳ ( log n ) O ( 1 ) vectơ trong v 1 , v 2 , ... , $v_1, v_2, \ldots, v_m$$n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$ . Việc thêm vectơ là trên trường GF (2), có hai phần tử 0 và 1 ( 0 + 1 = 0 + 1 = 1 và 0 + 0 = 1 + 1 = 0 ).$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

Thật dễ dàng để thấy sự tồn tại của một vectơ u như vậy bằng một đối số đếm đơn giản. Chúng ta có thể tìm thấy trong một thời gian đa thức? Thật là tầm thường khi tìm thấy bạn trong thời gian theo cấp số nhân. Tôi sẽ gửi một giải thưởng kiểm tra $ 200 cho giải pháp chính xác đầu tiên.$u$$u$

Dường như có một lỗi đánh máy; Tôi giả sử bạn có nghĩa là để tìm mà không phải là tổng của ( log n ) O ( 1 ) vectơ trong v 1 , ... , v m (không n ).$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

Tôi không rõ nếu bất kỳ hằng số nào trong hoạt động với bạn. Nếu bạn có thể giải quyết các khoản tiền nhỏ hơn các vectơ log m thì có thể có việc phải làm. Nhưng nếu bạn muốn số lượng này là ( log m ) 1 + δ , sau đó tôi nghĩ rằng đó là khá khó khăn (tôi đã làm việc về vấn đề này trong một thời gian dài).$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

Tuy nhiên, bạn có thể quan tâm để biết rằng đây là một ví dụ của Vấn đề Điểm từ xa của Alon, Panigrahy và Yekhanin ("Thuật toán xấp xỉ xác định cho vấn đề từ mã gần nhất") cho các tham số nhất định. Hãy và v 1 , ... , v m được các cột của ma trận kiểm tra chẵn lẻ của một mã tuyến tính trong { 0 , 1 } m của chiều d = m - n (nếu ma trận này không có thứ hạng đầy đủ, vấn đề sẽ là tầm thường). Sau đó, vấn đề của bạn tương đương với việc tìm u ∈ { 0 $m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$ đó là ( log n ) O ( 1 ) -far từ mã. Cài đặt tham số này, trong đó kích thước rất gần với m, không được nghiên cứu trong bài báo. Tuy nhiên, họ chỉ có thể đạt được mức độ xa xôi log m lên đến kích thước d = c m cho một số hằng số c . Trong thực tế, tôi không nghĩ rằng chúng ta biết về bất kỳ giấy chứng nhận đa thức kích thước cho phép chúng tachứng minhrằng một số vector là hơn ω ( log m ) -far từ một không gian của chiều Ω ( m $u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$, hãy để một mình tìm thấy nó.

Một kết nối khác là với các tương đương học tập trong mô hình ràng buộc sai lầm. Nếu người ta có thể học một cách hiệu quả (được xác định trên 0 , 1 m ) với sai số bị ràng buộc nhỏ hơn n , thì người ta có thể đặt các giá trị tùy ý thành n - 1 bit đầu tiên của u và `` lực một lỗi '' ở bit cuối cùng bằng cách đặt nó thành giá trị ngược lại với giá trị dự đoán của người học. Điều này có vẻ mạnh hơn nhiều mặc dù.$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

Vấn đề cũng liên quan đến việc tách EXP khỏi các mức giảm nhất định thành các tập thưa thớt.